1998年8月10日、東京で日本人の父とミャンマー人の母との間に生まれる。名に「鳥」の字を含む2人の兄がいることから、父親から「飛鳥」と名づけられた。

小学4年生の時、学校のダンス部員が踊っていた曲が気になり、調べてみるとアイドルの曲だった。それがきっかけでアイドルに励まされるようになり、自分もアイドルになりたいと思うようになった。小学4年生の時はお笑いクラブ、小学5年生の時はテニスクラブに所属し、小学6年生の時は合奏クラブで、ブラスバンドのティンパニを担当した。中学生の頃は吹奏楽部に所属し、サックス、バスクラリネットを担当した。

2011年8月21日、乃木坂46の1期生オーディションに合格、オーディションでは西野カナの「if」を歌った。オーディションは中学校の友達に教えられ、知人の勧めで応募した。合格後、夏に吹奏楽部を退部した。

2012年2月22日、乃木坂46の1stシングル「ぐるぐるカーテン」でCDデビューした。2012年8月22日、乃木坂46の3rdシングル「走れ！bicycle」のカップリング曲「海流の島よ」で初のセンターを務めた。

2015年1月10日、ファッション誌 『CUTiE』(宝島社）で初の単独表紙を務め、翌月、同誌創刊以来初の専属モデルに起用された。2015年7月21日、乃木坂46メンバーの北野日奈子と斉藤優里と共に、ANNA SUIの2015年秋冬アジア圏ビジュアルモデルに抜擢されたことが発表された。2015年7月29日、ファッション誌『CUTiE』が2015年9月号をもって休刊することが発表された。2015年7月31日、それに伴い『CUTiE』の専属モデルを卒業し、ファッション誌『sweet』（宝島社）のレギュラーモデルに起用された。2015年10月10日、ファッション誌『sweet』で「乃木坂46齋藤飛鳥のFASHION BUZZ」の連載を開始した。2015年10月28日、乃木坂46の13thシングル「今、話したい誰かがいる」で初の「十福神」に選ばれた。

2016年4月2日、ラジオ『POP OF THE WORLD』の「HARRY'S ENGLISH CLASS」のコーナーにレギュラー出演を開始、J-WAVEのナビゲーターとしては史上最年少、かつ女性アイドルグループのメンバーが務めるのは初の出来事だった。2016年6月6日、乃木坂46の15thシングル「裸足でSummer」で初のシングル表題曲のセンターを務めることが発表された。2016年7月4日、テレビドラマ『少女のみる夢』で初の主演を務めた。2016年10月8日、『 GirlsAward 2016AUTUMN/WINTER』で自身が監修したAnk Rougeの衣装を披露した。2016年11月29日、陸上競技マガジン『箱根駅伝2017完全ガイド』の箱根駅伝出場者による「好きな女性芸能人ランキング」で12位を獲得した。2016年12月23日、ソロ写真集『潮騒』の発売を記念し、Instagram、Twitterを開設した。

2017年1月23日、755を開設した。2017年1月25日、初のソロ写真集『潮騒』（幻冬舎）を発売、写真集は週間推定売上5万8215部を記録し、2017年2月6日付のオリコン週間ランキングのBOOK総合部門、写真集部門で1位を獲得、乃木坂46グループとして史上最高週間売上を記録し、女性ソロ写真集としては歴代2位の記録を達成した。発行部数は当初7万部を予定していたが、10万部を突破した。2017年6月7日、MONDO GROSSOのアルバム『何度でも新しく生まれる』の収録曲「惑星タントラ」のボーカルを担当。

2018年10月5日公開予定の台湾映画『あの頃、君を追いかけた』の日本版リメイク作でヒロイン役を務める。 2018年8月8日、乃木坂46の21stシングル「ジコチューで行こう！」でシングル表題曲のセンターを務めた。このシングルのヒット祈願でカナヅチであることが発覚する。