算数における計算は、四則演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）だけです。

まずはもっとも簡単なケースで、この四則演算の逆算の仕方を学びましょう。

なお、逆算を機械的に行うやり方を見受けることがありますが、それはおすすめ出来ません。

四則演算は計算の基本です。

計算の意味を理解していれば、その逆算も、教わらなくてもおのずと出来るものです。

それを機械的に行うようなやり方は、今後の学習においても弊害となります。

計算や逆算の意味を理解するには、

　　　図を描いてイメージでとらえる

のが一番です。

（１）足し算・引き算の逆算

図は、３と２を加えると５になることを示しています。

ここから、次の４つの足し算、引き算が考えられます。

　　　３＋２＝５

　　　２＋３＝５

　　　５－３＝２

　　　５－２＝３

このように図でイメージすると、次のような逆算もおのずと出来るようになります。

　　　(1) □＋２＝５　→　□＝５－２＝３

　　　(2) ３＋□＝５　→　□＝５－３＝２

　　　(3) ５－□＝２　→　□＝５－２＝３

　　　(4) □－２＝３　→　□＝３＋２＝５

（２）掛け算・割り算の逆算

図は、２を３倍すると６になることを示しています。

ここから、次の掛け算、割り算が考えられます。

①２×３＝６

　例）リンゴが２個ずつ入った袋が３袋あると、リンゴは合計６個

②３×２＝６

　例）３つの袋にそれぞれリンゴが２個ずつ入っていると、リンゴは合計６個

③６÷２＝３

　例）６個のリンゴを２個ずつ袋に入れると、３袋できる

④６÷３＝２

　例）６個のリンゴを３袋に均等に分けると、１袋には２個入っている

これは、次の図式で考えると分かりやすくなります。

この図式から、次のような逆算が出来るようになります。

(1)□×３＝６　→　□＝６÷３＝２

(2)２×□＝６

　 ２×□は□×２と等しいので、次のように考えます。

　 　　２×□＝６　→　□×２＝６　→　□＝６÷２＝３

(3)６÷□＝２

　 これは(2)と同じ図式になります。

　　　６÷□＝２　→　２×□＝６

　ここで(2)と同じように考えて、

　　　□×２＝６　→　□＝６÷２

(4)□÷３＝２　→　□＝２×３＝６

※(2)と(3)は一見別の問題のように見えますが、

　図式化すると、本質は同じ問題であることが分かります。

還元計算では元の値を求めるのに

「逆算」を行います。

この逆算を正しく行うためには、

まず計算の規則について

正しく理解しておく必要があります。

(1)かっこの中を先に計算する
・ほかの箇所の計算より、かっこの中を先に計算します。
・かっこには( )、{ }、[ ]（小かっこ、中かっこ、大かっこ）の３種類があります。
　( )の外側にかっこを使う場合は{ }を使います。
　{ }の外側にかっこを使う場合は[ ]を使います。
・かっこ同士では、
　( )の中 → { }の中 → [ ]の中
　の順に計算します。

　〔計算例〕
　　　10－[20－2×{3+2×(5－3)}+2]
　　=10－{20－2×(3+2×2)+2}
　　=10－(20－2×7+2)
　　 = 10－8＝2

(2)足し算・引き算よりかけ算・わり算を先に計算する
・「＋」「－」より、「×」「÷」を先に計算します。
　
　〔計算例〕
　　　　6＋2×5＝6＋10＝16
　　　　39÷3－2×4＝13－8＝5

かけ算とわり算だけの場合は、どこから計算しても結果は一緒です。

たとえば

　　　6×10÷5×3

は、以下のどの順番で計算しても答えは同じです。

　　　(6×10)÷5×3＝(60÷5)×3＝12×3＝36

　　　6×(10÷5)×3＝6×2×3＝36

　　　(6×10×3)÷5＝180÷5＝36

　　　(6÷5)×10×3＝(6/5)×10×3＝12×3＝36

ただし、次の計算は間違いです。

　　　6×10÷(5×3)=6×10÷15＝60÷15＝4　（間違い）

もともとわり算は÷5だけなのに、これでは15で割ることになってしまいます。

【分数計算のコツ】

このような間違いを防ぎ、しかも計算時間が短縮される良い方法があります。

それが次の方法です。

　①わり算は「逆数のかけ算」として考える

　②一つの分数にして、

　　分母同士、分子同士をそれぞれ一列のかけ算で書き並べる。

　③分母と分子で約分できるものがあれば約分し、

　　約分できなくなったところで、

　　分子同士、分母同士のかけ算を実行する。

このようにすると、約分も素早く出来るので無駄な計算が減り、

結果的に計算ミスの防止や時間短縮を図ることが出来ます。

「還元」とは「元に戻す」という意味です。

「還元算」は、ある数に対し行った計算を逆算していくことにより、元の数を求めるものです。

これも文章題を解く手順ではなく計算過程ですので、『還元計算』と呼ぶこととします。

後者には次のようなものがあります。

　「平均算」「マルイチ算」「消去算」「相当算」「還元算」「周期算」「のべ算（帰一算）」

これらの計算法は、ほかの特殊算の中で使用されることも多く、そのような計算法まで「～算」と呼んでしまうと、混乱が生じる一因となります。

例題で見てみましょう。

（１）平均算（『平均計算』）とマルイチ算（『マルイチ計算』）

この問題は、合計点を分けるという点では「分配算」であり、比を使うという点では「相当算」です。

しかしそれだけでなく、解く過程で「平均」の概念を使うので、「平均算」とも言えます。

また、①を基準とする比を使って解けば、「マルイチ算」であるとも言えます。

（「マルイチ算」は「相当算」の一種）

このように、同じ問題なのに「分配算」や「相当算」と呼んだり、さらに「平均算」や「マルイチ算」などと呼んだりすると、生徒さんのほうは「いったい何算なの？」と混乱してしまいます。

また、ここで用いた分配算の解き方を「マルイチ算」だと勘違いして覚えてしまう、ということも起こりえます。

そこで、このような混乱や誤解を避けるために、アカモン流学習法では、文章題を解く手順により分類したもの（分配算や相当算）を従来どおり「～算」とし、単なる計算法や計算過程を指すもの（平均算やマルイチ算）は「～計算」と区別することにします。

つまり、「平均算」は『平均計算』、「マルイチ算」は『マルイチ計算』と呼ぶこととします。

年齢算は、その名称のとおり年齢を扱う問題ですが、

解き方としては和差算・倍数算・分配算などの問題となります。

また、それらはすべて、

「消去算」の問題として統一的に解くことも出来ます。

（２）「時計算」

時計算は代表的な問題の一つですが、

解き方は角度に着目した旅人算（出会い算／追いかけ算）です。

（３）「水そう算」

水そう算は、仕事算のうち、水そうへの水の出し入れを考える問題を指します。

出題例が多いので、このような名称が存在するだけで、特別な解き方をするわけではありません。

なお、水そうに入った水の体積を求める問題もよく出題されますが、それは「水そう算」とは呼ばれません。

今回は、

「解き方は実質的に同じだが、条件等の違いにより区別されているもの」

です。

（１）「出会い算」と「追いかけ算」は、「旅人算」である

「出会い算」と「追いかけ算（追いつき算／追い越し算）」は、

２者が逆方向に進むか、同方向に進むかの違いであり、

ともに「旅人算」としてまとめることが出来ます。

（２）「流水算」も実質的には「旅人算」である

「流水算」とは、一定の速さで水が流れる川で、上流と下流を行き来する船などに関する問題です。

川を下るときと上るときで船の速さが変わりますが、その違いに注意すれば、解き方は「旅人算」と同じです。

（３）「通過算」も実質的には「旅人算」である

「旅人算」では、通常、移動する人や車両は、「点」が移動すると考えます。また、ある場所を通過するとき、その場所も「点」（地点）として考えます。

一方、「通過算」では、移動する車両の長さや、車両が通過する物体の長さを考慮します。

その違いに注意すれば、解き方は「旅人算」と同じです。

（４）「時計算」も実質的には「旅人算」である

「時計算」は、時計の長針と短針の動きに関する問題です。

ほかの旅人算と違い、角度に注目するという点が異なりますが、これも「旅人算」の考え方で解ける問題です。

「時計算」については、次節で取り上げます。

（５）「差集め算」と「過不足算」

「差集め算」と「過不足算」は、過不足が生じるかどうかの違いがあるだけで、解き方は同じです。

実際、「差集め算」と「過不足算」を同じように扱っている例もあります。

アカモン流では、「過不足算」は「差集め算」の一種と考えます。

30近くもある特殊算は、

体系的に整理されたものではなく

統一された定義があるわけでもありません。

したがって、たとえば「平均算」と言っても、

単に計算過程の一つととらえる人もいれば、

そのような計算過程を含むさまざまな問題を

すべて平均算の問題としてとらえる人もいます。

そこで、これから数回にわたり

特殊算を本ブログなりに整理・分類してみます。

そのうえで、どのような学習法が最適かを

考えることとしましょう。

①同一の解法だが名称が異なるもの

・「のべ算」と「帰一算」

「のべ（延べ）」とは、同一のものが重複しても、

それぞれを一つと考え合計したものを言います。

たとえば、ある映画を３回観た人が50人いた場合、

そののべ人数は150人（3×50＝150）となります。

のべ算は仕事算の一種とも考えられます。

この「のべ算」のことを「帰一算」とも言います。

実はこの２つは同じものなのです。

本ブログでは、まとめて「のべ算」と呼ぶこととします。

【例題】のべ算（帰一算）

ある仕事を6人で取り組むと、ちょうど18日で終わります。

この仕事をちょうど12日で終わるには、何人で取り組めばよいでしょうか。

ただし1人が1日にする仕事量は同じものとします。

（答え）

6人で18日間仕事をすると、仕事をしたのべ人数は　6×18＝108[人]

12日で仕上げるとき、１日当たりの人数は

　　　108÷12＝9[人]

いわゆる「特殊算」と呼ばれる

30近くの魔物が棲んでいます。

特殊算にはどのようなものがあるか、

まずは見てみましょう。

・和差算　　　　・分配算　　　　　・倍数算

・差集め算　　　・過不足算　　　・つるかめ算

・平均算　　　　・濃度算　　　　　・仕事算

・ニュートン算　・売買損益算　　・旅人算

・出会い算　　　・追いかけ算　　・流水算

・通過算　　　・時計算　　　・年齢算

・消去算　　　・集合算　　　・日暦算

・周期算　　　・方陣算　　　・覆面算

・のべ算　　　・帰一算　　　・相当算

・還元算　　　・マルイチ算

はじめて中学受験に取り組む方は、

これら数多くの特殊算に面食らうことでしょう。

しかし実はこれらは体系的に整理されたものではなく、

統一された定義があるわけでもありません。

それが特殊算の攻略を難しくしている一因でもあります。

「特殊算」という名称からは、

問題の解き方（解法）を指しているように感じられますが、

必ずしもそうではありません。

たとえば「つるかめ算」は、解法といえますが、

「平均算」や「還元算」は、

ある計算法が含まれるものを指しているに過ぎません。

このように、色合いの違うものを

十把ひとからげに「特殊算」と呼び、

それぞれがあたかも一つの解法であるかのように

誤解を与えているところに問題があります。

そこで「特殊算」という魔物を攻略するために、

まずは整理分類してみることとしましょう。

（次回へつづく）

じっぱ-ひとからげ 【十把一絡げ】

いろいろな種類のものを、区別なしにひとまとめにして扱うこと。また、一つ一つ取り上げるほどの価値がないものとしてひとまとめに扱うこと。「－にして考える」

（goo国語辞書）

「受験戦争」という言葉があるように、

受験は闘いです。

闘いの世界には

遠い昔から語り継がれるつぎの鉄則があります。

「敵を知り己を知れば百戦あやうからず」

誰でも一度は見聞きしたことのある

孫子の兵法の中の一節です。

受験において、敵とは誰でしょうか？

他の受験生ではありません。

受験における敵とは、「入試問題」です。

入試問題と格闘し、勝利しなければなりません。

そのための戦略をお教えしましょう。

＊　＊　＊　＊　＊　＊

〔　敵を知る①　「入試問題の全体像」　〕

入試で出題される問題はどのようなものでしょうか？

まずはその全体像をながめ、

どのような方針で取り組めばよいか

考えてみましょう。

中学受験算数の入試問題は、つぎの３つに大別できます。

（１）計算問題

（２）文章題

（３）図形問題

（１）計算問題

計算力は、算数・数学において

すべての土台となる重要な力です。

算数の成績が伸びない原因が、

計算力不足にあることも少なくはありません。

計算ミスをしたのでは正解は得られません。

また、計算ミスのために

解けるはずの問題でも途中で行き詰まることがあります。

逆に計算力があれば、膨大な計算を行い、

力づくで正解にたどり着けることもあります。

試験で計算ミスは０にしなければなりませんが、

それにはコツがあります。

このブログで取り上げるのは

「文章題」と「図形問題」がメインですが、

計算ミスをなくす方法についても

折に触れ述べていくので、参考にしてください。

（２）文章題

文章題には「つるかめ算」「旅人算」などの

いわゆる「特殊算」と呼ばれる３０種類近くの問題があります。

中学受験算数といえば

そのような問題を思い浮かべる方も多いことでしょう。

それらの多くは

小学校で学んだ知識では太刀打ちできず、

塾に通ったり

中学受験用の参考書・問題集に

取り組んだりしなければ、学べません。

この特殊算が、多くの受験生にとって、

特に、塾に通い始めた子どもさんたちにとって、

一つの大きな壁ともなっています。

それをどのように攻略していくか？

アカモン学習法では、

通常の塾や問題集とは

異なる視点でアプローチします。

実は５種類の解法を身に付けることで、

文章題はすべて解けるようになるのです。

その秘伝の術をこのブログでお教えしましょう。

（３）図形問題

図形問題を解くには、

文章題を解くのとはまた別種の力が必要となります。

文章題を解くのに必要な力は

おもに「論理力」ですが、

図形問題を解くのに必要な力は

おもに「パターン認識力」です。

相似形や典型的形状などを見抜く力が必要となります。

パターン認識力は、より感覚的な部分がありますが、

決して「ひらめき」に頼るようなものではありません。

パターンを系統だてて整理・分類することにより

その力を強化することが出来るのです。

本ブログでは、その整理分類された体系を示していきます。

以上が、中学受験算数の全体像と、

アカモン流算術の方針です。