システム変更後ではまだ行ってなかったので改めて実施しました。

イメージとしては、仮に実力レートが1760相当の同じ実力を持ったプレイヤーが30人いたとして、ある時期における彼らの実力レートは、どれくらいの幅で分布するかというものです。

それを調べるために、自分が2019年7月27日から2019年8月25日にかけて対戦して得られたデータ（1857試合分、平均レート1794、実力レート1764）をもとに、シミュレーションを行います。

　　　　　　　　　　　　　　　　実際の対戦記録

方法については、主に1857試合分のレート変動値（相手レートとの差によるハンディを含めたレートの変動値）を使用します。これの順序をランダムに組み替えて、その都度平均レート1794に対しての補正をかけることによって、あたかも同じ環境、同じ実力者が追加で1857試合分を行った仮想のデータを作ります。

その追加の1857試合を1セットとし、それを30セット分行うことによって、実際の対戦成績と同じ実力を持った30人分の対戦結果を出しました。30セット分の結果をグラフで載せます。

以上、30セット分のシミュレーション結果となります。

過去のレートシステムで行ったときと同様に、セットによっては何百試合も1800代に復帰できない、いわゆる下振れを引き続ける試合が発生しております。この結果の興味深いところは、ハンドのかみ合わせが悪い試合が重なると、例え安定した実力を持つプレイヤーでも、何百試合も下振れが生じて順位が上がらない可能性が十分にあるところです。

また、これらの試合の実力レートを以下にまとめました。

30セット分の実力レートの平均値は1761、標準偏差は10程度となりました。

記録した当時のJokerのボーダーが1760代だったのに対して、30セット分のうち11セットは1750代以下の実力レートとなっており、Jokerに満たない結果となります。さらに、最も低いものだと1738.6となっております。これは当時の実力ランキングでは24位程度の実力となります。

なお、Jokerクラスにまだなっておらずこれから目指す人は、まず安定して20位以内に入る実力をつけることを目標にすればいいと思います。

以上、今回はレートの下振れ、上振れについての記事となりました。

下振れを引き続けていると、どうも自分の打ち方が悪くなってしまったと思いがちになります。確かにその影響もあると思いますが、かみ合わせ（＝運）の要素がレートに大きく作用していることを理解して頂ければと思います。

Jokerクラスにタッチして調子づいたので更新しようと思いました。

今回もタイトル通り、混合戦略に関する考察となります。

混合戦略、ナッシュ均衡について分からない人は前々回の記事を参考にしてください。

今回、考察の対象とするのは、よくありがちな以下のケースとなります。

「自分が2で切って、相手が残り5枚、自分が残り4枚となった。その後、真または嘘のトリプルを出して決着をつける。」

この手の選択については、投げる相手を選ばなければならないこともあり、上級者でも意見が分かれたりします。

嘘が最も効果的となるハンドはSSSSSS2 (ペアなし、2ハイ) のようなハンドとなりますが、そもそもこのハンドで嘘を付く必要がないという意見もあれば、逆に積極的に嘘を付くべきだと考えている人もいるようです。

確かに、母集団の平均レベルとしての「環境」や、「個人メタ」はあると思いますので、データを取ればどちらが正しいかを証明することはできるかもしれませんし、そのデータに基づけば実用的な意味での最適解は得られると思います。

しかしそのような「基準の定まらない根拠」でプレイすることに対して納得できない方もいるのでは、と思いまして、前回に引き続き混合戦略ナッシュ均衡の考えで解を出しました。（ただし、前回も述べましたが、相手がオッズの概念を理解できる、すなわち中級者以上であるということが大前提となります）

今回のケースにおける利得行列は以下のようになります。

表　2で切ってトリプルを投げた際の利得行列

今回、自分(A)がとる選択肢は以下の3択となります。

①　SSSSSS2のハンドにおいて、嘘トリプルを投げずに♤プレイする。

②　TSSSS2のハンドにおいて、2で切ってトリプルを投げる。

③　SSSSSS2のハンドにおいて、嘘トリプルを投げる。

表のx1、x2、x3はそれぞれ選択肢①～③を取る割合を示しています。

そのためx1+ x2+ x3 = 1となります。

また、x2に関しては、ハンド型SSSSSS2の頻度(7.7%)とTSSS2の頻度(6.2%)の比に基づいて0.45という固有値となります(説明は省きます)。

表を埋めている数字について説明しますと、①を選択した場合の平均勝ち枚数は-2としています。

データを取ってみると分かりますが、ペアなし2ハイのハンドはそれほど勝てるハンドではありません。平均勝ち枚数-2は低すぎると思う人もいれば大きすぎる思う方もいるかもしれません（前回でも述べましたが、利得行列の数値はおおよその目安です）。

続いて、②を選択してダウトをもらった場合は8枚勝ち、スルーされた場合は4.5枚勝ちとしています(真を返されることもあるため)。

③を選択した場合にダウトをもらった場合は3.5枚負け、スルーされた場合は4枚勝ちとしています。

さて、このような数値の組み合わせで自分(A)の最適戦略を求めてみると、以下のような結果となります。

自分(A)の最適戦略

x1=0.34

x2=0.45

x3=0.21

そのときの利得平均は2.15

したがって、混合戦略ナッシュ均衡によると、「SSSSSS2のハンドは、♠プレイと嘘トリプルの選択の比率を x1： x3 = 0.34 ： 0.21に調整する、すなわち10回中4回は嘘トリプルの抽選を受ける」が最善ということになります。

その戦略を実践した場合、相手視点ではx3 / (x2+x3) =0.32 、つまり32%の確率でトリプルに嘘があることになります。その確率によって相手のダウトレンジとかも決まってきますが、それを書くとややこしくなるので今回はここまでにします。

今回は混合戦略ナッシュ均衡の観点から、「あるハンドについてどれくらい嘘トリプルを投げることが許されるか」、というのを示しました。

次回も何か考察したい内容があれば更新します。

前回は、初手4枚革命を投げる際に真と嘘をどのような配分にすれば最適か、また、受ける側はどのような配分ででスルーとダウトをすれば最適かを混合戦略ナッシュ均衡の観点から考察しました。

今回も、同様の観点から一部のケースにおける最適解を考察します。

そのケースは以下です。

◆ケース①

「自分が残り5枚で、相手が残り1枚、自分が手番のときにbbを2回出して何とか勝ち切りたい。なお、2回のbbのうち、片方は真でもう片方が嘘であることを相手側は知っているものとする」

ケース①は、対戦中に相手からペアを全渡しされ、何らかの展開によってそのペアが残って自分に手番が回ったような状況です。これと全く同じケースになることは少ないと思いますが、連続してbbやbbbをする際にどちらから真を出すかで悩むような類似ケースは多いんじゃないかと思います。

このケースを前回説明した利得行列にまとめると以下のようになります。

表1 bb2回出しの際の利得行列

自分側がA、相手側がBとします。

Aが1回目に嘘を付く確率を x、2回目に嘘を付く確率を 1-xとし、

Bが全スルーする確率を(1-y1-y2)、1回目にダウトする確率をy1、2回目にダウトする確率をy2としています。

なお、Aが1回目に真を投げて、Bにダウトされた場合の平均勝ち枚数は1～2枚となることが多いので、上の表では間をとって1.5としております。

この利得行列を前回と同じ要領で解いた結果が以下の通りとなります。

計算過程は省略します。

A側の最適解

x=　0.36　平均勝ち枚数 -0.84

B側の最適解

y1= 0.48、y2=0.52 平均勝ち枚数 +0.84

なお、Bは2回ともスルーする選択は明らかに損なので、Bは1回目か2回目かどちらか必ずダウトすることが最適解となります。

◆ケース②

「自分が残り7枚で、相手が残り1枚、自分が手番のときにbbbを2回出して何とか勝ち切りたい。なお、2回のbbbのうち、片方は真でもう片方が嘘であることを相手側は知っているものとする」

ケース①とは自分の残り枚数が異なり、bbではなくbbbを投げる状況になります。

利得行列にまとめると以下になります。

表2 bbb2回出しの際の利得行列

この場合の結果は以下の通りとなります。

A側の最適解

x=　0.31　平均勝ち枚数 -1.5

B側の最適解

y1= 0.5、y2=0.5 平均勝ち枚数 +1.5

x もy1 も概ねケース①に近い値となりました。

～まとめ～

上記ケースにおいて2回連続でbbまたはbbb投げる際は、1回目に約30%の確率で嘘を投げることが最適となります。一方で受ける側は、どちらか一方をランダムにダウトすれば最適となります。1回目に真を投げる方がいいのは混合戦略を取り上げるまでもなく基本中の基本ですが、上級者同士の戦いだと嘘をいくらか混ぜる必要があるということになります。

次回は、ハンドの型に関する考察を書く予定です。

ナッシュ均衡とはゲーム理論における用語の一つです。

自分と対戦相手がお互いにゲームで勝つために合理的な選択をしようとするプレイヤーであることを前提とした際、それぞれある選択肢を変更すると自身の利益を減らすことに繋がり、その選択肢以外に変更のしようがない均衡状態になるケースがあります。その選択肢をナッシュ均衡といいます。

ミリオンダウトは自分と相手が「嘘をつく」「真を投げる」「ダウト」「スルー」などの選択肢の組み合わせによって勝ち枚数を巡る駆け引きが生じるゲームです。したがって、ミリオンダウトでも一部のケースにおいてはナッシュ均衡が存在します。

ナッシュ均衡を把握するとミリオンダウトの実レが劇的に上がるわけではないと思いますが、合理的な上級プレイヤー同士の対戦において、どのような駆け引きが行われているゲームなのかがより明確になると思います。

上記で述べたいくつかの選択肢の組み合わせによってこのゲームの勝敗が決まりますが、ゲーム中に例えば「ダウト」や「スルー」を選ぶ基準は初期に配られた７枚の札の強さが判断材料の一つになります。したがって上記の選択肢の選び方はプレイヤーによって個人差はあれど確率によって支配されていると言えます。

このようにお互いがある一定の比率で選択肢を選んで勝ち枚数の駆け引きが行われている状況での合理的戦略を混合戦略といい、その際、お互いがお互いの比率を把握していることを前提としたナッシュ均衡を混合戦略ナッシュ均衡と言います。ミリオンダウトの駆け引きにおける均衡状態はこの混合戦略ナッシュ均衡に該当します。

一例として、先攻のAが初手に4枚革命（嘘または真）を投げ、Bが「ダウト」か「スルー」するかという、ありがちな状況について考えます。ここで、各自の選択肢とその選択肢を選んだ結果によるAの平均勝敗枚数(以後、勝ち枚数と呼ぶ)を以下の①～④の４パターンと仮定します。（②～④の勝ち枚数は大体の目安です。多少、人によって見積もり方の違いはあると思います。）

①Aが真革命を投げ、Bがダウトする　⇒　Aの勝ち枚数は+11

②Aが真革命を投げ、Bがスルーする　⇒　Aの勝ち枚数は-2

③Aが嘘革命を投げ、Bがダウトする　⇒　Aの勝ち枚数は-5

④Aが嘘革命を投げ、Bがスルーする　⇒　Aの勝ち枚数は+7

この①～④のケースを以下の表にまとめます。このようにそれぞれのパターンにおける利益（ここではAの勝ち枚数）をマトリックスにまとめたものを利得行列と呼びます。

表1. Aが初手革命を投げる際の利得行列

この利得行列を基に、混合戦略ナッシュ均衡を求めてみます。

Aが真革命する割合をx、嘘革命する割合を(1-x)とします（0≦x≦1、0≦y≦1)

一方で、Bがダウトする割合をy、スルーする割合を(1-y)としてます。

このとき、Aの勝ち枚数の期待値は、真革命を投げた場合と嘘革命を投げた場合とでそれぞれ以下の通りです。

真革命を投げた際の期待値・・・11xy -2x(1-y) = 13xy -2x

嘘革命を投げた際の期待値・・・-5(1-x)y +7(1-x)(1-y) = 12xy -7x -12y +7

その合計は・・・25xy -9x -12y +7 = (25x -12)(y -9/25) +67/25　①式

①式について、以下のことが分かります。

　x = 12/25のとき・・・・yによらずAの勝ち枚数の期待値は 67/25となる。

　x < 12/25のとき・・・9/25 < y ≦ 1においてAの勝ち枚数の期待値が67/25を下回る。

　x > 12/25のとき・・・0 ≦ y < 9/25においてAの勝ち枚数の期待値が67/25を下回る。

すなわちAはx=12/25としない限り、Bがyを上げ下げすることによって最大の67/25を狙えなくなる。

また、Bが被る損失（以下、負け枚数）について、以下のことが分かります。

　y = 9/25のとき・・・xによらずBの負け枚数の期待値は67/25となる。

　y < 9/25のとき・・・0 ≦ y < 12/25においてBの負け枚数の期待値が67/25を超える。

　y > 9/25のとき・・・12/25 < x ≦ 1においてBの負け枚数の期待値が67/25を超える。

このことから、お互いに自身の利益を最大化（または損失を最小化）するための最適選択がそれぞれx=12/25(=0.48)とy=9/25(=0.36)であることが分かります。  この値がこのケースにおける混合戦略ナッシュ均衡となります。

まとめると、AとBのそれぞれの最適戦略は以下の通りとなります。

A側

48%の割合で真革命

52%の割合で嘘革命

B側

36%の割合でダウト

64%の割合でスルー

◆混交戦略ナッシュ均衡を基にしたダウトレンジと嘘レンジ

ここまで明らかとなった上で、次に考えてみたくなるのが、A側はどのようなハンドで嘘革命すべきか、またはB側はどのようなハンドでダウト(またはスルー）すべきかです。

利得行列を基準にすると、A側は(a)嘘革命を通した後に７枚勝ちできるハンド、B側は(b)嘘革命をダウト成功（または真革命をスルー成功）した後なるべく勝枚数を稼げるハンドが望ましいといえます。

(a)に関して、初手真革命を引く確率は約5%です。

最適戦略によると、嘘と真の比率が48:52でほぼ1:1なので嘘革命ハンドも5%程度投げることが最適解となるのでしょうか。いや、その5%の中には初手に投げる必要のないハンドもあるため、実際は4%ほどが最適解と考えられます。

嘘革命を投げるべきハンドは、それ以外のムーブでは勝枚数が稼ぎにくい以下のようなタイプが候補となります。（少なくとも、均衡時における平均勝枚数である65/25(≒2.7)よりは明らかに稼げないハンドで嘘革命を投げたい。）

・38SSSSS (38持ち,2無し,シングルのみ)　頻度2.1% ⇒優先度(高)

・LLSSSSS(3～4ペア持ち,2無し,残りシングル) 頻度3.2% ⇒優先度(中)

・34SSSSS(34持ち,28無し,シングルのみ) 頻度1.1% ⇒優先度(低)

38SSSSSに関しては優先度が最も高く、相手が上級者なら必ず初手嘘革命を投げておきたいハンドとなります。その他LLSSSSSや34SSSSSなども候補に挙がります。もちろん、嘘革命以外で稼ぎにくいハンドであれば上記以外のハンドも選択肢としてアリだと思います。

ここで重要なのは、対戦相手は人間ですので必ずしも最適解に従わないということです。しかしこちらが最適解を一方的に知っておけば、相手のプレイスタイル（最適解からどれだけズレているか）に応じて嘘レンジを調整することで、理論上は相手からの一方的な搾取が可能となります。

次に(b)に関して、Joを1枚以上もっているなら、ハンドの強さ的にも、相手が嘘革命投げる条件付き確率的にもダウトを打つべきでしょう。これだけでほぼダウトを打つべきハンドとなります。残る11%のハンドは、Joを含まないハンドの中で勝ち枚数が大きくなりやすいハンドを選べばいいことになります。候補としては以下のようなハンドです。

・Jo持ちハンド 頻度24%

・Jo無しの以下のハンド

　・TPSS以上のまとまったハンド  頻度3.7%

　・PPPS (ペア3組+シングル) 頻度1.5%

　・PPSS2 (ペア2組,2持ち)  頻度4.4%

　・PSSS82 (ペア1組,82持ち) 頻度3.6%

上記の範囲までで最適解である36%程度のダウトレンジとなります。もちろん嘘革命を投げる際と同様に、相手が初心者や嘘を付きやすいプレイヤーならば、上記ハンドよりも若干弱めのレンジからでもダウトが最適ということになります。

今回はミリオンダウトにおける混合戦略ナッシュ均衡について、初手嘘革命を投げたケースを例に考察を行いました。次回はそれ以外のケースについて同様の考察を行う予定です。