対策といっても基本的に過去問をひたすら解くというオーソドックスなことしか特段していない。大学3年の3月から東大数理の過去問を解き始めた。15年分くらいかな、よく覚えていないけれど入手できたものはほとんど取り組んだと思う。その後京大の過去問を数年分解いた。

東大の専門は問題数が多くおそらくほとんどの人は自分の専攻する内容の問題があると思うが、京大はそうではないので注意が必要。実際、京大の専門には確率論はなかった。といっても解析系の人はルベーグ積分やヒルベルト空間、微分方程式論の問題もどれかは手が出せるだろうから大した問題にはならないと思う。

京大の専門の解析系の問題は過去問と似た問題が出やすいので過去問演習の効果はかなり高いと個人的には思う。

RIMSは例年一次試験は京大の筆記試験で代用するようで、かなりの高得点を取らないといけないらしい。しかし今回は例年と異なり一次試験は自分の専攻に関するレポートだった。2次試験は試験問題が事前に渡されて諮問の際にそれについて色々と聞かれた。ちなみに問題の難易度は東大の院よりも少し難しいという感じだった。

諮問の内容は詳細には言えないが、そこまで恐れる必要はないという感じがした。院試の問題の解答の記述をちゃんと書ける力（例えばなぜ極限と積分が交換できるかとか）と、自分の専攻分野に関する基本的な定義や定理を理解していれば大丈夫だと思う。また院でどんな内容を学びたいのかぼんやりとでも考えておくと良いと思う。しかし以上のことは自分の受けた確率論での話なので他の分野については保証できない苦笑

以上で回答になるかはわからないが、何かあればコメントしていただければ可能な範囲でお答えしたいと思う。

東大、京都大学数理解析研究所（RIMS）、東工大と受けたところは全て受かっていた。

RIMSは日本の数学研究の中心で毎年10人程度しか受からない超難関。ダメもとで受けたけれどここに合格できたのはとても嬉しい。

東大の入試結果を開示したところ筆記試験がA問題400点、B問題298点だった。大問一つ100点だろうから合計で698点/700点だった。B問題で計算ミスしてなければ満点合格だったなぁ、悔しい。京大も今度開示の申請をしてみようと思う。

進学先はRIMSに決めた。すでに来年からお世話になる先生とのゼミがzoomで始まっていて、東大とRIMSのゼミの掛け持ち状態（笑）。外国人の先生だから英語でのコミュニケーションで、これが結構大変。とりあえず質問の意味がわかんなかった時に必ず聞き返すようにしたい。というのも聞き返すのを申し訳なく感じ躊躇した結果、曖昧な会話になることがあったから。今やっているのはグラフ上のランダムウォークの勉強。グラフの性質という確率論とは異なるデータからから確率論に関するランダムウォークの色んなことが分かるのは面白い。

修士が2年、博士まで行けばそこから更に3年。卒業する頃には27歳。周りは来年度から就職する人も多いし、親戚もほぼ大学院に行ってないから肩身がめちゃくちゃ狭いなぁ（早く働いてほしいらしい）。今のところはアカデミアに残りたいけど、任期なし研究職に就くのも大変だし、任期付きは給料は良くないみたいだし前途多難だ！(-_-)

専門科目Aは必答問題の線形代数と微積の2問と、残りのいくつかある選択問題から2問選び合計4問答えるというものだった。2番の微積の問題が積分計算だったのでこれはきた！と思い最初に取り組んだ。途中置換積分などでうまく計算する必要があり少し焦ったがなんとか解けた（数3くらいの積分の方が逆に怖い）。

その後線形代数を解いた。普通は1番の線形代数から解くと思うのだが「同時対角化」というワードが見えてちょっと身構えて2番を先に解いたのだった。実際取り組んでみると対象となっている二つの線型写像の行列表示は比較的分かりやすい形をしていて、計算が煩雑になることもなくスムーズに解けた。

そして選択問題は色々と眺めて複素解析と微分方程式の問題を解いた。位相の問題は連結成分を求める問題で以前にそのような問題を解いた時、記述が大変だったので飛ばした。選択問題の方の線形代数の問題は見るからに難しそうで飛ばした（考えてもいない）。最後の級数の一様収束に関する問題はちょっと考えたが、それまでに少し取り組んでいた微分方程式の問題の方が見通しが立ちそうだったのでその二つにしたのだった（友達は級数の問題は簡単だったと言っていたからもう少し考えれば良かったかも）。

複素解析の問題は留数積分の問題だった。極を迂回するという典型的な積分路をとり計算できた。微分方程式の問題は具体的な解を求めるのではなく解の極限での振る舞いを考えるものだった。なんとか時間内に解答を完成させたが、微分方程式論は完全な自学なので少し不安ではある。

1日目をなんとか全完できてホッとしたが疲れがすごく帰ってからは2時間くらいYouTubeをぼーっと見てた。流石にいけないと関数解析や確率論の過去問を少し解いて、久しぶりの湯船に浸かり早めに寝た。

2日目は専門科目Bで沢山ある問題から3つ選んで解くという4時間の試験で、分野は代数、幾何学、解析、応用と多岐に渡りどれも難しい問題ばかり。決まりはないが大体の人は自分の志望分野の問題を解くのかな？自分は確率論志望なので確率論とそれに関係するルベーグ積分の問題、後は関数解析の問題にしようと決めていた。

確率論は分布関数の一様収束に関する問題で途中まではSlutskyの補題を使えば簡単に解けた（自分の答案があってれば）。逆に知らないと結構大変な計算を強いられるものだった。スラスラと解けて好調だったが(4)がめちゃくちゃ大変だった。ただ確率論の問題を解くのは好きだし、それまでたくさんエグい計算をしてきたから出来ると自分を信じて30分ほど格闘してなんとか道筋を立てることができ答案を完成できた。確率論の問題を解いた時点で1時間と少しが経っていた。

次にルベーグ積分の問題に取り組んだ。積分といっても今回の問題は可測関数の表現に関する一般論だった。そしてなんと内容が確率論の授業で示した命題と全く一緒だった笑。授業で示したのは半年前のことだったが、幸いにも今年の5月ごろに一度復習する機会があり、証明の流れをぼんやりと覚えていたので無事に答案を書き上げることができた。ここまでで2時間くらいだったかな。

最後に関数解析の問題に取り組んだ。問題は数列空間のある集合がコンパクト集合である必要十分条件を求めるというものだった。もちろん考えている集合は異なるのだが諸事情により似たような集合が数列空間のコンパクト集合であることを示すという問題に取り組んだことがあったので解く方針はすんなりと立った。いざ手を動かすと10分くらいで必要十分条件の目処が立った。細かい計算を詰めて答案を書き上げて3時間が経ったくらいの頃にちょうど3問解くことができた。

こうして専門科目Bで3完することができた。確率論以外の問題がともに親しみのある内容の問題で取り組みやすかったのが奇跡だった（他の問題は手がつけられなさそうだった）。もちろん合っている確証はないし筆記で受かってもまだ口頭試問が残っているので油断はできないが、それでも筆記試験は満足いく結果になった。院試の対策を頑張ってきて良かった。まぁ本当は院試なんて対策しないで受かるくらいじゃないとダメなんだろうけど...けれど院試対策の勉強はこれまでのいろんなことの復習になったし、自学してきた関数解析は問題を通じてなんとなく感覚を掴むことかできたので無駄じゃなかったかな？

（追記）

B問題の確率論の最後の問いが反例を構成するものだった。自分が解答に書いた反例自体は正しかったがその証明の際にZ^2を計算すべきところを間違えてZを計算していた。口頭諮問前に気づけてよかったがもったいないミスをしたな〜

東工大の基礎問題は一様収束絡みの問題で記述中に不備に気づき解答を一から書き直したせいで時間が足りず位相の小問を一つ解けずじまいだった（帰宅後に取り組んだら解けた）。専門はルベーグ積分と複素解析をとった。どちらも基本的で時間は十分に余った。特に複素解析は単なる留数計算で専門としては他の問題と差があったように思う。関数解析の問題も帰宅後に解いてみた。こちらも基本的で良い勉強になった。

京都大学の数学系は基礎科目、専門科目ともに全完することができた。京大の数学系は位相に関する問題はあまり出さないのだろうか？とりあえず典型的な多様体の問題から手をつけて次に留数定理の問題、線形代数、解析と取り組む方針がすぐに立つものから解いていった。これが功を奏したと思う。やはり解けた問題が増えていくと気持ちもリラックスできる。そのおかげか群論は久しく触れていなかったが第2？3？同型定理みたいなのがあったなぁと思い出せて解くことができた。

昼休みには基礎科目のこの問題がどうだったのと京大生の仲良しグループとみられる人たちが話していた。ザ・試験あるあるである。今回は自分が良く解けたのでなんとも思わなかったが、あまり出来が良くなかったときにはああいうのは精神的ダメージがくる笑笑。けれどああいうふうに友達と数学の議論する時間は楽しいし気持ちはよくわかる。

専門はルベーグ積分と関数解析を解いた。そもそも解析の方向に決めたのが4年春でまともに関数解析は勉強できておらず、かなり不安だったが運良く過去問で得た知識を使えば解ける問題であった。ルベーグ積分はとりあえず極限の順序交換してこうなったらいいなと目処をたてて解いた。やはり闇雲にやるよりもこういう道筋をイメージして解くことは大事だなと思った。

京都大学は明日の英語の試験が中止になったし昼の新幹線までちょっと観光して帰ろうかな。ちょっとのご褒美の後は再度気を引き締めて確率論の勉強と東大院試の勉強をしないとな。

・二つの数列の積の級数で片方の部分和が有界ならその部分和で元の級数の部分和を表現してコーシーの収束条件に帰着できる可能性がある

・非負値関数列の積分の0への収束はL^1収束と見ることで概収束部分列を取ることができる

・L^p空間（1<p<∞）は反射的バナッハ空間、これは1≦p<∞についてqをpの共役として、L^qと(L^p)*が同型であることからわかる

・ヒルベルト空間の共役作用素が絡んだ固有値を求める問題は内積を使って共役性を言い換えてO.D.E.を導くことで求められる。

・コンパクト作用素である証明にはAscoli-Arzeràが有用。積分で定まる作用素について核の不連続点のために同程度連続性が保証できないときは、カットオフしたものがコンパクト作用素であることを示し、その極限として作用素を表現する。コンパクト作用素の空間が閉であることを使えば良い。

・Ascoli-Arzerà:コンパクト集合上の連続関数族について同程度連続かつ各点有界なら一様収束する部分列がある（正則関数族なら局所有界を示せば良い）。