「なぜどんな数でも０乗すると１になるのか。
　２の２乗は２を２回かけるということだから４だし、
　２の１乗は２を１回かけるということだから２になる。
　数を０乗するって言うのは良く分からないけど、もしあるとするならば
　２の０乗は２を０回かけるから・・・というかなにもしないんだから０になるのでは。」

以前そのように質問されたことがあるのだが、至極当然の疑問である。
実は、この質問に答えるのはとても簡単だ。なぜなら、

「そー決めたから。」

これだけでいいのだ。

だめ？
いやほんとにそれだけなんだけど。
実は０乗という考え方を持ってくるのは簡単なのである。

例えばａ＾５÷ａ＾２という計算を考えてみよう。
ａ＾５÷ａ＾２＝（ａ×ａ×ａ×ａ×ａ）÷（ａ×ａ）
　　　　　　　＝　ａ×ａ×ａ
　　　　　　　＝　ａ＾３　　　となる。
つまりａ＾５をａ＾２で割るとａが、５－２＝３個だけ残るわけだ。このことは、
ａ＾５÷ａ＾２＝ａ＾（５－２）と計算できることを示している。確かに
ａ＾７÷ａ＾２＝ａ＾（７－２）＝ａ＾５であり、
ａ＾５÷ａ＾３＝ａ＾（５－３）＝ａ＾２となる。

まとめるとどうやら、
ａ＾ｘ÷ａ＾ｙ＝ａ＾（ｘ－ｙ）というのが成り立つことがわかる。
これは指数法則の一つの変形にもなっている。

しかし、もし上の式のｙがｘと同じ値だったらどうなるだろうか。
ａ＾ｘ÷ａ＾ｘ＝ａ＾（ｘ－ｘ）
　　　　　　　＝ａ＾０
すると０乗という概念がどうしても必要になってしまう。
しかもａ＾ｘ÷ａ＾ｘというのは明らかに１なので、
ａ＾０＝１にせざるを得なくなるのだ。

注意して欲しいのは、ａ＾０＝１を証明したわけではないということだ。あくまで、
「ａ＾ｘ÷ａ＾ｙ＝ａ＾（ｘ－ｙ）という法則が常に成り立つためにはａ＾０＝１でないと都合が悪い」
ということを示したに過ぎない。

これが最初に私が「そー決めたから。」と述べた理由だ。
０乗という概念は全く初めて出てくるものではあるが、ａ＾０に０、２、３などの勝手な値をあてはめてしまうと
既存の法則と矛盾してしまう。
「そー決めたから」というのは「そー決めないと都合が悪いから」ということだ。

「どんな数でも０乗すると１になる」というのは導き出すものではなく定義なのだ。

ちなみに、

実はここまで書いてなんだが「どんな数でも０乗すると１になる」は正しくない

０＾０はまたややこしい話なのだが１ではないのだ

そこらへんはまたの機会に