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たどりついた考え方

母集団の平均…μ
標本の平均…M　=（ΣXi）/n
母集団の平均と標本平均の差…M-μ=d
母分散…σ2
標本分散…V(X)
dの分散…V(d)
Σ…Xiについて、i=1，2，3、…nまでの総和


・標本は、母集団の一部からとってきたもの。だから標本の平均Mと母集団の平均μは必ずしも一致しない
・μを使うよりもMを使った方が、分散は小さくなる（μよりもMのほうが、各標本からのズレは小さいから）
　→標本分散V(X)が母分散σ2を過小評価してしまう理由

・V(X)はσ2に比べて、標本平均と母集団の平均とのズレ（|M-μ|=d）の分だけ分散を過小評価している
・式で表すとこんな感じ？
　V（X）=Σ（M-Xi）＾2　/ｎ　
　　　　=Σ（μ-Ｘｉ-d）＾2　/n

・標本達がμからどれだけ離れているか（=σ2）と、dがどれだけばらつくものであるか（=V(d)）は独立した事象なので次の式が成り立つ
　V（X）=Σ（μ-Ｘｉ-d）＾2　/n
　　　　=(Σμ-Ｘｉ＾2/n) - (Σd)/n
　　　　=σ2　-　V(d) 　…式1

・d=M-μ、M　=（ΣXi）/n　なので
　V(d)　=　V（M-μ）
　　　　=ΣM-＾2　/n
　　　　=M-μ＾2
　　　　=（ΣXi）/n-μ＾2
　　　　=（ΣXi）/n-nμ/n＾2
　　　　=（ΣXi-μ）＾2/n^2
　　　　=σ2　/n

・これを式1にぶちこむと
　V（X）=σ2　-　V(d)
　　　　=σ2 -　σ2　/n
= (n-1)σ2　/n
これを変形すると
　σ2=nV（X）/(n-1）

V（X）=Σ（M-Xi）＾2　/ｎなので
σ2=Σ（M-Xi）＾2/(n-1）

よって、母分散σ2を推定するには平均和をnではなく(n-1）で割った方が精度がよいということになる。


・・・この考え方で合ってるのかな？ ]]> https://ameblo.jp/funamu-shi/entry-11558363769.html Sat, 22 Jun 2013 23:00:53 +0900