https://ameblo.jp/g-05772/ 　大人の数学塾「数学を楽しもう会」を主催している溝上武史と申します。 「趣味は数学」と言える人を一人でも多く増やしたい！ 数学は知的好奇心を満たし、生涯学習に最適です。 微力ながら「数学の正しい狂い方」を発信していきたいと思います。 ja 半径 = √100 = 10

の円周及び内部にある格子点の個数を求めれば良い！

x軸 , y軸上にある格子点 : 10×4+1 = 41個
第1象限にある格子点 : 9+9+9+9+8+8+7+6+4 = 69個
第2象限にある格子点 : 69個
第3象限にある格子点 : 69個
第4象限にある格子点 : 69個

だから

これらを合計して

41+69×4 = 317個

マアいい線いってるネ！

このとき

317≒100π = Nπ

⇒ 317/100≒π

になっている .

以下続く . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11535415518.html Wed, 22 May 2013 08:49:09 +0900
= 4/1＾s+4/2＾s+0/3＾s+4/4＾s+8/5＾s+0/6＾s+0/7＾s+8/8＾s+4/9＾s+8/10＾s+ ・・・・・・・

ですが

分子の和 = 4+4+0+4+8+0+0+8+4+8+ ・・・・・・・= ∞！

と

右辺 = π

の関係は？

関係ないと思うけど ・・・・・・・ .

さて

x , y : 整数

として

分子 :
4 = x＾2+y＾2 = 1 となる( x , y )の個数
4 = x＾2+y＾2 = 2 となる( x , y )の個数
0 = x＾2+y＾2 = 3 となる( x , y )の個数
4 = x＾2+y＾2 = 4 となる( x , y )の個数
8 = x＾2+y＾2 = 5 となる( x , y )の個数
・・・・・・・

だから

分子の和 

≒ 円 : x＾2+y＾2 = N の周上及び内部の格子点の個数 ( N≒∞ )

≒πN : 半径√Nの円の面積

になっている？！

本当にそうなの？

N = 100

で実験しましょか！

以下続く . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11534040053.html Tue, 21 May 2013 07:45:35 +0900 s＞1 )

で

s → 1+0

とすると

両辺 → ∞ : 発散

するんですが

公式 : ( s-1 )ζ( s ) → 1

を使うと

( s-1 )f( s )

= ( s-1 )ζ( s )g( s )

→ g( 1 )

で

g( 1 ) = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ ・・・・・・・ = π/4 : 収束

してくれます.

この級数が有名なGregory級数です.

すると

( s-1 )f( s ) → π/4 ( s → 1+0 )

⇒ Res( f( s ) , s = 1 ) : f( s )のs = 1 に於ける留数

= π/4

が成り立つ .

さて

( s-1 )f( s ) → π/4 ( s → 1+0 )

の両辺×4すると

( s-1 )×4f( s ) → π

となるが ・・・・・・・ . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11533344868.html Mon, 20 May 2013 07:55:02 +0900 325

で公式の確認をしましょか！

325 = 5＾2×13 : 素因数分解

⇒ d = 1 , 5 , 5＾2 = 25 , 13 , 5×13 = 65 , 5＾2×13 = 325

だから

Σsin ( dπ/2 )
= 1+1+1+1+1+1
= 6

実際

325
= ( ±1 )＾2+( ±18 )＾2 : 8通り
= ( ±6 )＾2+( ±17 )＾2 : 8通り
= ( ±10 )＾2+( ±15 )＾2 : 8通り

だから

( 8+8+8 )/4 = 6

でO.K.

意外と便利かナ？

以下続く . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11532800078.html Sun, 19 May 2013 09:01:10 +0900 90°= sin π/2
 0 = sin 180°= sin π
-1 = sin 270°= sin 3π/2
0 = sin 360°= sin 2π

だから

g( s )の分子の第n項 = sin ( nπ/2 )

と一発に書ける！

すると

f( s )の分子 : 1 , 1 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , 2 , 2 , ・・・・・・・

の第n項 = ？

これは一寸？難しくて

Σsin ( dπ/2 ) ( d | n ⇔ d : nの約数 )

になっている .

これが有名なメービウスの反転公式です！

この結果を使うと

n : 素数( ＞2 )

として

f( s )の分子の第n項

= 2 ( n = 5 , 13 , 17 , 29 , 37 , ・・・・・・・ )

= 0 ( n = 3 , 7 , 11 , 19 , 23 , ・・・・・・・ )

になっている .

以下続く . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11532037899.html Sat, 18 May 2013 07:56:34 +0900 4の倍数

なので

個数/4 : 1 , 1 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , ・・・・・・・

及び

s＞1

に対して

f( s )

= 1/1＾s+1/2＾s+0/3＾s+1/4＾s+2/5＾s+0/6＾s+0/7＾s+1/8＾s+1/9＾s+2/10＾s+ ・・・・・・・

と置く .

分子 = all 1

なら収束するんだけどね ・・・・・・・ .

f( s ) : Dirichlet ( ディリクレ ) 級数

という .

このとき

f( s ) = ζ( s )g( s )

ζ( s ) = 1/1＾s+1/2＾s+1/3＾s+1/4＾s+1/5＾s+ ・・・・・・・ : ζ関数

g( s ) = ・/1＾s+・/2＾s+・/3＾s+・/4＾s+・/5＾s+ ・・・・・・・

の形に書ける ・・・・・・・ ！

そこでg( s )の分子を求めていくと

1 , 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , -1 , 0 , ・・・・・・・
 
← 4項でcyclic = 巡回 している

になっている ！！

これが素晴らしいネェ！

すると

g( s )の分子の第n項 = ？

すぐ分かるかナ？

以下続く . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11531426286.html Fri, 17 May 2013 07:30:01 +0900 x＾2+y＾2 = n

x , y : 整数
n : 自然数

を考える .

n = 1 ⇒ x＾2+y＾2 = 1 ⇒ 解 : ( x , y ) = ( ±1 , 0 ) , ( 0 , ±1 ) の4個
n = 2 ⇒ x＾2+y＾2 = 2 ⇒ 解 : ( x , y ) = ( ±1 , ±1 ) の4個
n = 3 ⇒ x＾2+y＾2 = 3 ⇒ 解 : ( x , y ) = 無し の0個
n = 4 ⇒ x＾2+y＾2 = 4 ⇒ 解 : ( x , y ) = ( ±2 , 0 ) , ( 0 , ±2 ) の4個
n = 5 ⇒ x＾2+y＾2 = 5 ⇒ 解 : ( x , y ) = ( ±1 , ±2 ) , ( ±2 , ±1 ) の8個
n = 6 : 0個
n = 7 : 0個
n = 8 : 4個
n = 9 : 4個
n = 10 ; 8個
・・・・・・・

解の個数 : 4 , 4 , 0 , 4 , 8 , 0 , 0 , 4 , 4 , 8 , ・・・・・・・

の一般項 = ？

という様な話です . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11531414864.html Thu, 16 May 2013 08:29:45 +0900
= log2 ← Euler積に変形不可！

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+ ・・・・・・・

= π/4 ← Euler積に変形可

1-1/2+1/4-1/5+1/7-1/8+1/10-1/11+ ・・・・・・・

= π/3√3 ← Euler積に変形可

etc .

何れも交代級数ですが後の2つが整数論的な価値がある！

次回は2番目の等式を解剖していきたいと思います . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11530784960.html Wed, 15 May 2013 08:23:01 +0900
2泊3日でソウルに行って来ました .

さて

1-1/2-1/3+1/4
+1/6-1/7-1/8+1/9
+1/11-1/12-1/13+1/14
+1/16-1/17-1/18+1/19
+1/21-1/22-1/23+1/24
+1/26-1/27-1/28+1/29
+1/31-1/32-1/33+1/34
+ ・・・・・・・

= ( 2/√5 )log( ( 1+√5 )/2 )

でした！

これで終わりたい！ところなんですが

これで終わるのはもったいない！！

実は左辺が無限乗積分解出来るんです .

左辺

= ( 1-1/2+1/4-1/8+1/16-1/32+ ・・・・・・・ )
( 1-1/3+1/9-1/27+1/81-1/243+ ・・・・・・・ )
( 1-1/7+1/49-1/343+ ・・・・・・・ )
( 1+1/11+1/121+1/1331+ ・・・・・・・ )
( 1-1/13+1/169-1/2197+ ・・・・・・・ )
( 1-1/17+1/289-1/4913+ ・・・・・・・ )
( 1+1/19+1/361+ ・・・・・・・ )
・・・・・・・

になっている！← 展開して確認して下さい

更に続けて

= 1/( 1-( -1/2 ) )
1/( 1-( -1/3 ) )
1/( 1-( -1/7 ) )
1/( 1-1/11 )
1/( 1-( -1/13 ) )
1/( 1-( -1/17 ) )
1/( 1-1/19 )
・・・・・・・

= ( 2/3 )( 3/4 )( 7/8 )( 11/10 )( 13/14 )( 17/18 )( 19/18 ) ・・・・・・・

分子 = 2 , 3 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 ,  ・・・・・・ : 5以外の素数

になっている .

この無限乗積が有名なEuler積というものです .

以上まとめて

( 2/3 )( 3/4 )( 7/8 )( 11/10 )( 13/14 )( 17/18 )( 19/18 ) ・・・・・・・

= ( 2/√5 )log( ( 1+√5 )/2 )

以下続く . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11527556168.html Tue, 14 May 2013 07:35:11 +0900
とすると

1-1/ζ
= exp( x+iy )
= expxexpiy
= expx( cosy+isiny ) ← Eulerの公式

だから

| 1-1/ζ| = expx ⇒ 2sin(θ/2 ) = expx ⇒ x = log( 2sin(θ/2 ) )

arg( 1-1/ζ) = y ⇒ π/2-θ/2 = y

となり

log( 1-1/ζ) = log( 2sin(θ/2 ) )+(π/2-θ/2 )i

⇒ ∫1/( x-ζ) dx =  log( 2sin(θ/2 ) )+(π/2-θ/2 )i

これを

ζ＾2 , ζ＾3 , ζ＾4

に適用して

∫f( x )/g( x ) dx

= ( 1/√5 )log( sin(θ/2 )sin( 4θ/2 )/sin( 2θ/2 )sin( 3θ/2 ) )

← 虚数部分が消えました！

だから

Σ( n/5 )/n
= -∫f( x )/g( x ) dx
= ( 1/√5 )log( sin72°sin108°/sin36°sin144°)
= ( 1/√5 )logφ＾2 ← 黄金比 : φ = 2cos36°
= ( 2/√5 )logφ

q.e.d.

一気に最後まで行きました！

以下続く . ]]> https://ameblo.jp/g-05772/entry-11527274817.html Sat, 11 May 2013 07:45:24 +0900