公共選擇之投票制度

在這裡要由比率效用的推導，建立一種投票方式，藉由這種投票制度，可以達成Bergson的社會福利函數判 斷準則的社會最大福利。

目前的投票制度是一人一票，票票等值；這個制度也是，一人一票，票票等值。

但是在投票時，這個制度不限定任一個單一選民對於各個候選人的票數，不過該選民的票值仍是只有一票。

另外，除了候選人外，選民還可以將票投給額外的一個選項，這個選項名稱暫定為「其他」，這一項選擇除 了表示選民所投給候選人的票數是效用外，也表達了對於為參選者的期望。

例如，有三個候選人（張三，李四和洪七），兩個選民（姜九和成十二）。在投票時，雖然只有三個候選人 ，不過為了讓選民心中的效用值顯現，必須增加另一個候選標的，其他。

其他，這個候選標的可以讓選民所 得的票數以效用值出現而不是以效用比出現。

這裡，姜九可以任意給張三任意票數1000張或√2張或者π張， 給李四的票數也是依照姜九的意志，給洪七的票數也是。假設姜九給張三√3＝1.7320508……張，給李四π ＝3.1415926……張，給洪七10張，那麼，張三得到來自姜九的票不是√3張，而是√3/（√3＋π＋10）＝ 1.7320508……/ 14.87364346115867……＝0.116451……；李四得到姜九的票數則是π/（√3＋π＋10）＝ 0.210935132……；洪七則得到姜九的10/（√3＋π＋10）＝0.67233……張票。現在如果成十二投給張三1張 票，投給李四0張票，投給洪七10000張票，則張三得到成十二的票數為1/10001＝0.00009999……；李四得到 成十二的票數為0；洪七得到的票數則是10000/10001＝0.9999……。因此，張三得到的總票數為（√3/（√3 ＋π＋10））＋（1/10001）＝0.116551……；李四得到的總票數為（π/（√3＋π＋10））＋0＝ 0.210935132……；洪七則得到總票數（10/（√3＋π＋10））＋（10000/10001）＝1.67223……。

如下表 選民 \ 候選人 張三 李四 洪七 其他 票數 姜九 √3＝1.7320508…… π＝3.1415926…… 10 0 1 成十二 1 0 10000 0 1 得票 0.116551...... 0.210935132 1.67223…… 0 2 這一種投票方式絕對可以達成Bergson的社會函數判斷準則，而達成社會福利最大，因為這個投票方式各候選人的得票結果就是他們在選民心中的效用總和。

再以最近比較受矚目的投票為例，天主教教宗的選舉，這裡用三人互選，張三，李四與洪七 　 選民 \ 候選人 張三 李四 洪七 其他 票數 張三 1 1 3 0 1 李四 1 8 1 0 1 洪七 1 0 1 0 1 得票 0.8 1 1.2 0 3 則由洪七當選教宗，只要選一次而且各主教所得到的票數一定是符合Bergson的社會函數判斷準則。

不過這種投票方式很容易被賄選者以票數做記號，如果李四賄選，他可以約定姜九投張三1，投李四1億票， 投洪七0票；而約定成十二投給張三2票，投給李四1億票，投給洪七0票。則如此，如果姜九或成十二任何一 人沒有投出規定的票數，李四馬上可以從投票結果得知是誰跑票了。因此，一種防杜賄選的方式就是依選民 人數限定給票的方式，如果只有1000位選民，則給單一選民投給任何一位候選人的票數最好低於5張或者10張 ，且給的票數必須是自然數或0，如此可以防杜賄選，準確率又不會太差。

因為根據Arrow的五個假設，之所 以不能夠滿足這五個假設的原因，尤其是不能滿足「各方案的獨立」（independence of irrelevant alternatives）這個假設的原因，就是投票結果的準確率。 什麼叫做投票結果的準確率呢？以上面的例子為例，張三得到的總票數 是（√3/（√3＋π＋10））＋（1/10001）＝0.116551……；李四得到的總票數 為（π/（√3＋π＋10））＋0＝0.210935132……；洪七則得到總票數（10/（√3＋π＋10））＋（10000/10001）＝1.67223……。

其實，如前面提過的，選民投出來的票就是候選人在選民心中的效用值。 因此，如果社會的總效用單位是2單位，則張三在選民心中的效用值就是0.116551……效用單位； 李四在選民心中的效用值則是0.210935132……效用單位；洪七在選民心中的效用值則為1.67223……效用單位。

如果選民給各個候選人的票數限定是最多5張且必須是自然數或0，那麼，姜九給張三的票可能由√3→1， 姜九給李四的票π→2，給洪七的票則是由10→5。張三得到的姜九的票可能變成1/8，李四變成2/8，洪七變成5/8； 至於成十二給的票數則可能變成，張三1→0，李四0→0，洪七10000→5。 張三自成十二手中得到的票數就變成0票，李四0票，洪七則變成1票。 至於總票數的變化，張三由0.116551….→0.125，李四由0.210935132……→0.25，洪七則是1.67223……→1.625。

總票數的變化就是準確率，而任意投票不限定選民的最高投票數的投票方式準確度是最高的， 幾乎就是社會福利函數的社會效用值，隨著限定選民的最高投票數，準確率會降低， 準確率太低就會產生Arrow所證明出來的不可能定理的結果。

選民 \ 候選人 張三 李四(退選) 洪七 其他 票數 張三 1 0 3 1 1 李四 1 0 1 8 1 洪七 1 0 1 0 1 得票 0.8 0 1.2 1 3 上表就是李四退選後的投票結果，所有原本投給李四的票，都會跑到其他這一個候選標的，張三和洪七的這兩個候選人的得票數則不會改變。

因此，不會產生Arrow的不可能定理的情形。

其實，有時候選民對於候選標的並不滿意， 這時也可以投負值的票給不滿意的候選人，在計算票數時，則以負票數轉為絕對值以後與正值的票數一起計算。

總結投票制度的規則:

1.人人等票數，票有正負值，票票的絕對值相等值。

2.每個選民針對各候選標的的票數以選民手中票數為限。

3.選民面對的選項除各候選標的外，另增一項「其他」供選擇。

4.選民對於候選標的可投負值的票數。

注意事項

1.人人等票數，票有正負值，票票的絕對值相等值 同時，人人的效用單位相等

2.為利於選務進行順利 每個人都有正票10票 負票10票

3.序列效用 不能假設票票等值 但是 使用序列效用的經濟學家 社會學家 政治學家 都會明示或暗示的進一步假設 票票等值 這是錯誤的

4.「其他」這一個候選項目不可省或者刪除。不過，如果刪除或省略「其他」這一個候選項目， 對於Arrow的不可能定理也能通過考驗，除非選民的效用結構有變化（Arrow的五個假設並沒有提出效用結構變化的假設， 效用結構產生變化的情形應該極少見，特別是因為面對的產品數量有所增減，大概也是因為這樣Arrow才沒有提出這樣的假設）， 否則仍能通過Arrow五個假設，使得不可能定理變成可能，因為退出的候選人的票數會按比率自動移動到其他候選人處。

經濟學的定義

以數量化的方法研究人類的選擇行為

序列效用的錯誤

測量 (measurement) 按照 Stevens 給定的定義為「依據法則而分派數字於物體或事件上」 測量的基本性質 包括了三方面，即測量是依照一定的步驟(法則)、對個體(人、事、物)使用數值(分派數字)來表示個體的特 性，這裡所探討的特性就是效用。

Stevens在談到測量的定義時也提出四種測量尺度 (scale)，也就是對於我們分派在特性的數字有四種不同的意義

類別或說名義(nominal)：這一類分派的數字僅僅用於區別或分類，如運動員上衣的號碼，門牌上的號碼等。 在數學上的意義則是，這類的數字僅僅能以＝或≠表示數字間的關係。

等級或說順序 (ordinal)：這一類的數字除了可資區別外，還有著順序的意義，如運動員的名次。在數學上 的意義則是，這類的數字則能以＞或＝或＜表示數字間的關係，但是仍然不能運算。另外，在獲得類別或等 級這類測量結果的時候，還須注意一個非常重要的問題，類別和等級都不具有等距的概念，亦即，在這兩類 的數字中2與1的差距不等於2與3的差距。

等距 (interval)：這類的數字則除了區別，有序以外，數字間另有等距的關係，如溫度計上的溫度。在數學 上的意義則是，這類的數字可以作加或減的運算，例如，當我們說溫度差異時，我們可以進行加減的運算， 華氏5度和華氏1度相差華氏4度，不過，請注意，我們卻不可以說華氏5度是華氏1度的5倍。

等比或說比率(ratio)：這類的數字與等距尺度裡的數字最大的差異就在於絕對零值的概念，這類的數字存在 絕對零值的概念。在數學上的意義則是，這類的數字是唯一可以作四則運算的，如果以數學上來說，自然數 和實數都是。 序列效用理論中的效用就是上述的第2種，等級或者順序，是不能做四則運算的！不過，利用無異曲線法我們 卻可以算得很高興，不只能四則運算還能微積分！因此，由序列效用法到無異曲線法，顯然至少存在一個錯誤

由Stevens 的測量定義可以很容易得到一個結論：人是有測量能力的 由序列效用理論則可得到進一步的結論：人腦本身就是一個效用測量工具，依照序列效用理論，人腦可以測量出效用的順序

人的心中有一把尺

人的大腦就是一把尺

序列效用理論 不能推導出無異曲線 並運算 這是致命的錯誤 原本的序列效用公理 主要核心抄自離散數學的序關係 再加以疊床架屋 但是能不能由公理系統推導出無異曲線並運算 這裡常是以另一種沒有錯誤的方式 建立新的效用理論公理 比率效用公理系統 比率效用公理系統

基本概念 　

效用集合

效用 　

交互作用

公理 　

第一公理：效用集合可以在人的大腦功能下將各度向的效用以單一度向的實數線表示，效用是實數線上的 點，亦即，消費品的效用值為實數。 　

第二公理：一組消費品有一個效用值。 　

第三公理：一組消費品至多有一個效用值。 　

第四公理：當消費品集合是空集合時，效用值為0。 　

第五公理：消費者有能力自定效用單位量，對於任何一組效用值為非0的消費品，消費者有能力自定其中一 組消費品效用值為1，如果該效用值大於0或者自定其中一組消費品效用值為-1，如果該效用值小於0。

如果只有這些公理，雖然無異曲線圖上的所有的點的位置都不變，但我們還是無法確定哪些點是無異的， 也就是效用相等或偏好相等，這需要測量。

另外，我們還要確定是不是真的以實數進行效用值的表達，也有 可能我們仍然是以實數的函數進行效用值的表達。這兩者的差異就在於，當我們宣稱效用值為1的時候，我們 要怎麼證明我們宣稱的效用值2是效用值1的兩倍。如果我們無法證明宣稱的效用值2是1的兩倍，那麼我們就 是將某一種實數函數無意中套用，和序列效用公理系統一樣。而序列效用公理系統是一種沒有效率的公理系統。

因此，前面的公理組合還必須另加一條公理，是可以證明我們宣稱的效用單位值2就是1效用單位的兩倍（具 有測量的功能）。另外還可以讓效用值可以按照這條公理進行運算（以此為運算基礎）。也就是，當效用值 是實數的時，我們測量出來的效用值一定也是實數的函數，只不過，這個公理可以確定這裡的效用值2一定是 1的兩倍。而不像是以序列效用的概念，在序列效用公理系統裡，效用值是實數，也是實數的函數。但是，序列效用公理系統裡的效用值2不是效用值1的兩倍。 一個消費者可以很輕易的判定一杯水和一湯匙的糖一起使用效用比較高，還是分開使用效用比較高。這種判定就是判定糖和水的交互作用是大於0還是等於0或是小於0。因此，第六公理就是有關交互作用的規定。

第六公理：各消費品組合交互作用為0，則消費品組合的總效用值等於各消費品組合的效用值加總 這條公理可以讓效用值進行運算，且由於公理沒有限定交互作用為0的各消費品種類與數量，因此，不再另定 飽和狀公理。不再另定飽和狀公理的原因，還有這裡的消費品組合的效用值是不需要有飽和點的，消費有短 期有長期，有現在消費與未來消費（也就是資產），而這裡的消費品有點接近資產，而且這裡的消費品的數 量還不限定現實環境的數量，正如同我們在預擬消費時一樣，不需要等到消費才決定我們的消費組合的選擇 （當然預擬的結果可能因為實際上更好吃或更難吃而在往後選擇的組合上有所改變）。消費者在這裡運用消 費品的目的只是在做為消費尺度的標準，不需要真的消費。最後，這條公理也可以讓消費者建立效用軸的連 續實數尺度。

第六公理如果以機率論中的機率公理系統來看，應該將效用值以集合形式表示，便能符合機率公理的要求， 互斥的集合可以相加，亦即，將總效用分為幾個互斥的效用集合，則TU（X，Y）＝U（X）＋U（Y）＋IU（X， Y）其中IU（X，Y）就是X與Y的交互作用。

以比率效用公理系統建立一個效用測量工具，亦即將人腦中的測量工具，具體化。 以三種消費品黃金，白金與水，消費者是作者為例，這三種消費品對於作者而言，不同消費品之間的任意組 合的交互作用均為0。

請注意，這個例子的重點不只是要以黃金做為效用的測量工具，也不僅僅是作者主觀認定效用的測量是大家 都可看到的，重點在於以序列效用的基礎（包含測量的方式，可接受的測量結果），由比率效用公理系統推 導並建立一個客觀的效用測量的工具。

首先，以1g黃金為1效用單位，而經過效用公理進行效用測量工具的建立，不再另外拘泥於這樣的效用測能是 否可能真切，因為，這與無異曲線的測量是一樣真切的，無異曲線法的測量是正確的，這樣的效用測量工具 就是正確的，無異曲線法的測量方式是錯誤的，這樣的效用測量工具就是錯誤的，因為兩種測量方法的基礎 完全一樣。

另取 和1g黃金相同效用大小的白金a1g，因為黃金和白金的交互作用為0，因此，1g黃金和a1g白金的總效用就是 2單位的效用大小。再取b1g水效用大小為2單位，亦即，這個數量b1g的水對於作者的效用必須和1g黃金和a1g 白金的總效用無異。則以1g黃金與b1g的水所得到的總效用就是3單位，再取a2g的白金效用大小為3單位，此時，a2g的白金效用大小就是與1g的黃金和b1g的水的總效用無異，……，以此類推可以將數線上的自然數都標示出來，單位就是效用單位，由作者自定得到的。

再用類似的方式，以交互作用為0的3類厭惡品，建立效用數線上負整數的各個數值，就能得到數線上所有整 數的數值。這裡的負整數效用單位與1g黃金的效用值相同，1g黃金的效用值是1單位，負整數效用則為－1單 位。

至於整數間的實數，事實上，所有的整數都可以用10進位或者2進位表示。例如π＝3.1415926……，這是10 進位，也可以用2進位表示。 現在，取c1g的白金和相同效用大小的d1g水，當這樣的組合與1g的黃金效用無異時，c1g的白金效用就是0.5 單位，d1g的水也是效用值為0.5效用單位。再取e1g的黃金與相同效用大小d2g的水，當這樣的組合與c1g的白 金效用無異時，則e1g的黃金效用就是0.25單位，而d2g的水效用也是0.25效用單位。

……，

以此類推，

……

我們就可以得到所有整數間的所有的實數效用值。 由這樣步驟就可以將大腦內的效用測量工具，具體化。建立出一個具體的效用測量工具。所有的產品都可以 用這一個測量工具測量出效用值。而且所測量得到的效用值就是比率尺度的數字，可以四則運算

但是 對於點的大小 則出現兩種結果 且各有矛盾或是難以處理之處

1.點的大小等於0 有矛盾之處

2.點的大小大於0 有難以處理之處

目前數學的主流主張的是 點的大小等於0 繼承於 數學的第一個幾何公理 點沒有部分

後來 認為 點沒有部分 當中的部分 就是一種循環定義 是不合法的 但是 點沒有部分這樣的觀念是被接受的

因此 現代的數學公理 認定 點不需要證明 是一種 基本概念 是一個 沒有部分的基本概念 只是大家都不說 部分 這個詞 進而將他隱藏在心裡深處

點 是一個沒有部分的基本概念... 這個觀念 是對的 但是 別說 也不用說 因為 點是基本的概念 只要繼續埋藏在心中即可

從而推定 點的大小等於0

點的大小等於0 是錯的 就跟 想要尋找一個數 同時是奇數 也同時是偶數 一樣的離譜

只要沒有部分 他的大小就一定等於0 且對應在集合公理裡面就是空集合 不可能存在一個概念 他的大小等於0 且在集合公理裡面不是空集合 且沒有部分

點是甚麼 點是一個基本概念 一個 不是空集合(非空集合) 的基本概念 點的大小大於0 且 點可構成直線 平面 與空間 如何構成呢?如圖一 先將線段EF拿開 再將三角形ABC內的點 回填到原來線段EF的相對位置 就能組成線段EF 再由線段組成直線 由直線組成平面 由平面組成空間

這是由前述的證明 得到其中之一的構成方式 且一定要有足夠的數量的點 才能完成

也就是以 自然數的冪集合的元素個數的數量 以特定的方式構成直線 平面 與空間 的那個概念 就是點

如果空間 平面 直線 都是點 構成

a.那麼點的部分又是甚麼呢?

b.點的部分可以組成 空間 平面 直線嗎?

c.如果b.可以 由點的部分 組成 空間 平面 直線 那麼 點的部分 是點嗎?

要說明a. b. c.的答案之前 要先知道

偶數自然數集合的元素個數和自然數集合的元素個數一樣多

奇數自然數集合的元素個數和自然數集合的元素個數一樣多

也就是 自然數集合的部分集合 跟自然數集合一樣大 點的大小 大於0 小於任意實數 可表示為 1/實數集合的元素個數或 1/自然數集合的元素個數 點的大小 和自然數集合 是相對的概念 自然數集合所特有的性質 點也有

亦即 自然數集合所特有的性質之一 自然數的部分集合和自然數一樣大 點 也有這個特有性質

亦即 點的部分跟點一樣大

a.的答案 點的部分 跟點一樣大 至於點的部分要叫做 一點點 或是 點點 意義不大 正如自然數集合的冪集合的兩倍 要叫甚麼 是一樣的

b.的答案 組成直線的概念就是點 跟點一樣大的概念 就能以 自然數集合的冪集合元素個數 的數量 以特定的方式 組成 直線 平面 空間

c.的答案 請參考a. b.的答案

現存 所有的幾何公理 不論是由哪一國的菁英所提 均是錯誤的

錯誤如下

只要在公理中沒有 任意兩點 A點與B點 只存在其中之一 A點與B點重合(A=B) 點與點不重合(A不等於B) 點與點不完全重合(A不等於B)

而只在公理中表示 任意兩點 A點與B點 只存在其中之一 A點與B點重合(A=B) 點與點不重合(A不等於B) 則公理中的點 是錯誤的空集合

因為 空集合只等於空集合 沒有不等於 而且

空集合 所構成的直線 是空集合

空集合 所構成的平面 是空集合

空集合 所構成的空間 是空集合

現存 所有的幾何公理 均只有 任意兩點 A點與B點 只存在其中之一 A點與B點重合(A=B) 點與點不重合(A不等於B)

因此 現存的幾何公理 均只有 空集合和空集合的關聯 且 是錯誤的空集合

有些數學家 以集合 來代替 位置 來代替 點 這也是錯誤的

其實 集合 可能是一條直線 可能是一個平面 可能是一個空間 可能是一個點 可能是其他幾何圖形概念

用集合來取代 位置 來取代 點 是不可行的 只要點的大小為0 就是空集合 只要一個集合 他不是空集合 在幾何論 就有大小 且大於0

微積分 是一個求得近似值的工具

在微積分的一開始 就存在一個無法理解的矛盾

現在獲得解答了

在極限我們知道 x->a f(x)=f(a) 但是 微積分內的分母 卻又不能讓 f(x)=f(a)

這在點的大小等於0是無解的矛盾 但是 當點的大小不等於0 就有解了

這個矛盾 跟 0.333...與1/3 0.999...與1 一樣 只要直線是連續的 對於每個點 都可存在 0.333...與1/3 的狀態

亦即 在幾何上 不同的兩個點 在數論 卻是共用一個數(請注意 1/3與0.333...兩個值不同 1/3-0.333...不等於0 只是他們共用一個數0.333...)

即 0.333....與1/3 是兩個不同的點 但是 他們共用一個數 0.333....

當 0.333....*3=0.999... 與 1/3*3=1 0.999...與1 是不同的兩個點 也是不同的兩個數 但 1-0.999...=0.000....

這對於一個求得近似值的工具 是足夠的且是一個可理解的矛盾

承上一個證明(連證公數_點的大小與1不等於0.9循環)

證明 1不等於0.9循環

但是 1/3等於0.3循環

因為 3*1/3=1 0.3循環*3=0.9循環

這裡會有一個矛盾

但是這個矛盾正好能證明 點的大小不等於0

自然數集合 和實數集合 能一對一對應 能推出以下結果

自然數集合元素個數 是 序的概念中 最大的一個

任意 n進位制 之間 均能一對一對應

自然數集合 和任意無窮多個元素集合 均能一對一對應

自然數集合 和有理數集合+無理數集合+超越數集合 能一對一對應

10進位制自然數集合 和2進位制自然數集合+3進位制自然數集合+4進位制自然數集合+.... 能一對一對應 這就是 為什麼1不等於0.999... 但是1/3=0.333...一個很重要的原因 其他原因 點的大小不等於0

因為點的大小不等於0 而是1/自然數集合元素個數 (這個概念 大於0 小於任意實數)所以 不論是 實數集合 有理數集合 無理數集合 超越數集合... 或是任意組合而成的集合 自然數集合均能一對一對應 且 會產生 無法準確表達的情形 1/3與0.333.... 就是一個例子

進位制表達數的概念的極限

a不能表達點的大小 只能表達到無窮小實數

b不能表達自然數集合元素個數 只能表達到無窮大自然數

c當任意兩數的差值 小於或等於點的大小 如1/3與0.333... 只能以無窮小實數為近似值

d以3進位的0.1和10進位的1/3與0.333...為例說明 用以下6張圖說明 10進位的0.3循環 與3進位的0.1(=10進位的1/3)

圖一 點在直線的位置

圖二 3進位點的位置

圖三 10進位點的位置

圖四 3進位的直線和10進位的直線接近

圖五 3進位的直線和10進位的直線進行重合

圖六 3進位的直線和10進位的直線重合完畢 並將原本3進位的直線 與10進位的直線放在旁邊對照

因為點的大小大於0 不等於0 且 自然數集合元素個數的概念 是序的概念中 最大的一個 等於 實數集合元素個數 所以直線上的點能一對一對應 但由於位置不同 所以 會出現 1不等於0.9循環 但是 1/3等於0.3循環

對於數 我們先認識 自然數 0 負數 分數 小數 無理數 代數數 超越數... 這未必能符合 集合的分類

當然 我們可以把

所有的無理數 當成一個集合

所有的代數數 當成一個集合

所有的超越數 當成一個集合 ...

但 事實上 能和10進位一對一對應的集合 可能是 算式數集合

亦即 存在一個 由各種算式得到的值 可在數線上標示 而這樣的算式數集合 包含了 我們所認識的 還不認識的數線上的值

這個集合 能和10進位一對一對應 能和3進位一對一對應 能和2進位一對一對應...但卻不一定每個值都相等

由上述可知另外的結論

幾何和數論並不等同

數論的 1/3與0.333...是同一個數 相等 1與0.999...是兩個數 不相等 是存在矛盾的

幾何的 1/3與0.333...是兩個點 不相等 1與0.999...是兩個點 不相等 是沒有矛盾的

證明幾何和數論等同的證明 是錯誤的

要探討點的大小之前

有3個地方清楚以後 比較好理解

a.自然數集合內元素個數和實數集合內元素個數一樣多

b.1不等於0.9循環

c.1/3等於0.3循環

上述的a. 已經證明過 c.在後面會說明

現在證明b.

圖一(全圖)

圖二(直線l(L的小寫)平行線段EH平行線段FG)

圖三(幾何論平行公理)-直線l垂直經過線段EF上的點X(X不等於E X不等於F) 必交於線段GH上的點Y 且直線l必垂直經過線段GH(Y不等於G Y不等於H)

圖四(由EF對應到GH)-EF為線段(0,1) GH上的點則由構成函數M(r)組成 對應到三角形KPQ內自然數 M(r) r對應M(r) 1對應M(1)=1 0.5對應M(0.5)=50 0.9999...(9循環)對應M(0.9999...(9循環))=...99990

圖五(同理)-為了說明起見 0.5不等於0.4999...(9循環) 跟1不等於0.999...(9循環) 證明的方式與結果均是同理的 這裡證明0.5不等於0.4999...(9循環) 圖中0.5對應在三角形內的點為50 在第1層 0.4999...對應在三角形內的點為...99940 無窮接近線段GH的某層 也就是說 在三角形內 50和...99940兩個符號的所在的曾是不同的 兩個點以自然數的來看 50是25的兩倍 是25的倍數 ...99940不是25的倍數

圖六(幾何論平行公理)-直線l垂直經過線段EF上的點0.5 必交於線段GH上的點 50 必平行 直線l'經過線段GH上點...99940 直線l'必交於線段EF的點0.4999... 因為50不等於...99940 所以直線l與直線l'必平行 而非重合

1不等於0.999... 則1與0.999...之間有無窮多個點 但是 他們與1之間的差 都必是 0.000...(0的循環)因為有無窮多點 所以 0.000...(0的循環) 也有無窮多個 但他們只能表示成 0.000...(0的循環) 這些值就是微積分的分母 不為0 但是 是實數 可以四則運算並當分母 且 表示成0.000...

至於點的大小則是 1/(線段EF上所有實數點的個數) 由 得證的結果 自然數集合內元素個數和實數集合內元素個數一樣多 1/(線段EF上所有實數點的個數)=1/(自然數集合內元素個數) 這樣的概念 不是實數的概念 不是0 也不是有理數(因為 自然數集合內元素個數 並不是一個自然數) 但是 大於0 小於任何實數

也就是說 在實數線上 必須存在一種概念 一種不是實數的概念 卻大於0 小於任何實數

經由證明得證而成為定理 一定能在證明中找到問題的關鍵

哥德爾不完備定理的關鍵就在於證明中 以自指式命題為前提 形成矛盾的設計

該矛盾 看起來很像是說謊者的矛盾 又像是理查德的矛盾

但是不管是哪一種矛盾 你一定能發現 所有現存"不能證明的命題" 都和哥德爾所提的矛盾無關

這是因為 在哥德爾的時期 數學在集合論的公理化發展還沒完成

當時討論最熱烈的 或者至少是其中之一 便是 自指式命題

哥德爾的證明應該在 自指式命題解決的同時便功成身退

因為 在現存的所有公理化系統 不論是 數論 或 幾何論 或集合論 不論是由哪一國的菁英所提 均不存在 自指式命題 不存在自指式命題 哥德爾不完備定理的證明就不存在

但是不知為什麼哥德爾不完備定理的證明被無限擴充

後來發現的 "不能證明的命題" 即便是與哥德爾證明中的矛盾毫無相關 也被說成是 哥德爾證明的成功預測

進而將哥德爾的證明提升為定理 無視於 該證明的有效性(沒有自指式命題 該證明就無效)

上述是假設 哥德爾引用的是說謊者矛盾

那如果是理查德矛盾呢? 更簡單

只要發現任何命題 在所有的技術 方法 都找不到證明的情況下

唯一可行而且不會產生任何後遺症的方式 把它提昇為 公理

因為 "自然數集合內元素的個數與實數集合內元素個數一樣多" 這定理 就能使得理查德矛盾不存在

只要 自然數集合內元素的個數與實數集合內元素個數一樣多 對於公理系統內 所有不能被證明的命題中的理查德矛盾就不存在

線段(0,1)上的點可以對應到整個空間的點 現在假設 空間上每一個點都是一個命題 不管可證不可證 也能在 自然數集合內元素的個數與實數集合內元素個數一樣多 的定理內 完成整個公理定理樹狀圖而不會有理查德矛盾

圖一(全圖)

圖二(等分數的決定)-當我們推倒定理 證明時 有些定理可以同時推導出很多定理 有些則否 這裡的等分數 就是由公理系統中 可推導出最多定理的數量決定 例如 某定理可以同時推導出2^10000個定理 則就2^10000+1等分成 如果是公理數比較多 就以公理數量等分

圖三(每一個點都是公理)這裡以皮亞諾公理為例 並假設 等分數為10(表示 由某定理可同時最多推導出9個定理)

圖四(每一個點都是定理)這裡以皮亞諾公理為例 並假設 等分數為10(表示 由某定理可同時最多推導出9個定理)

康托的證明

將0與1之間所有的實數,以10進位表示,可寫成0.p1p2p3...這種形式的無窮小數 並約定將有理數寫成無窮小數,如(1/2)=0.4999... 假設實數集合(0,1)是可數的,亦即,可以和自然數集合一一對應,則 將實數集合(0,1)的元素全部排列出來,可得到序列

a1,a2,a3,a4...,an,...

現在將自然數集合與實數集合(0,1)之間構成一一對應

1對應a1=0.p11p12p13p14...

2對應a2=0.p21p22p23p24...

3對應a3=0.p31p32p33p34...

4對應a4=0.p41p42p43p44...

...

k對應ak=0.pk1pk2pk3pk4...

...

現在構造一個數b=0.b1b2b3b4...bk...,

               5,當pkk不=5時

其中bk={

               4,當pkk=5時

則b是0與1之間的一個實數,其數字都是4或5 B是一個無窮小數,並且它的k位數字bk不=pkk,所以b與序列a1,a2,a3,a4,...ak,...中的任何一個數都不相同 這說明序列a1,a2,a3,a4...ak,...並沒有把(0,1)中的數列舉完,也就是,剛剛的假設是錯的,而這個假設是,實數集合(0,1)是可數的 所以,實數集合(0,1)是不可數的

圖一(全圖)畫出正方形DFGH 三角形ABD 三角形QKP(其中 A=C B=E D=F G=K H=P L=Q)

圖二(線段對應線段 第2個三角形)-為了方便說明 畫出第2個三角形 並將對應的點畫在第2個三角形內 三角形內的數均為自然數 構成一個函數M 這個函數將 線段(0,1) 上的數 r=a*10^0+b*10^-1+c*10^-2+d*10-3... M(r)=...d*10^3+c*10^2+b*10^1+a*10^0

圖三(由上而下掃圖)-以一條直線l(L小寫)由上到下平移 所有在線段BD上的點 均能對應到線段KP 並將線段BD上的點以實數r(0,1)標示 KP上的點則以M(r)標示

為了說明康托證明中的錯誤

我們以

10對應0.1

20對應0.2

...

54550對應0.5545

... M(pi-3)對應pi-3

由上個證明 存在無窮大的自然數 中可知

所有左邊的數或符號都在三角形內

所有右邊的數都在線段BD上

圖四(產生的新數一定在線段(0,1)內)-回到康托的証明 產生的新數b 一定在線段(0,1)內 新數b由線段BD對應到線段KP也一定有一個點 因為 DFGH是正方形 直線l 是平移的方式 由上移動到下 假設b=0.5444545555445454... 則對應到KP上得到的符號則是 ...45454455554544450

但是 剛剛直線l 由上而下平移的時候 所有在線段BD上的點 與線段 KP上的點 都被畫過了 不是嗎?

也就是說 正方形DFGH上的線段BD和線段KP也會由康托的證明 證明出兩線段不對應 因此 康托的證明是錯的 因為 正方形DFGH 上 線段BD=線段KP 兩線段是能對應的

無窮大的自然數存在嗎?

為了凸顯這個問題 這裡用10進位說明

圖一(全圖)

圖二(數線圖)

圖三(線段圖10進位)-10進位不好畫 但是 與2進位同理 2進位標示在1/2的位置 10進位標示在1/10的位置

圖四(三角形圖一)-對線段BD(三角形的一邊)10等分 能在線段BD得到9個點 對應到11'線段上

圖五(三角形圖二)-對線段BD上各等分的線段 均各在10等分 因為做圖困難 這裡取其中之一等分並放大10倍 所取等分為0到0.1 同圖四步驟 將等分所得到的點 對應到三角形內

這就是離散和連續的對應 離散的無窮集合可以和連續的無窮集合一一對應

每次等分線段BD所得到的點 依序是 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.01 0.02 ...0.09 0.11... 都可以和 1 2 3 4 5 ...對應 其中 1對應0.1 2對應0.2 3對應0.3 4對應0.4 5對應0.5 ....9對應0.9 10對應0.01 11對應0.02....

因為這裡的對應方式要用來證明 無窮大的自然數 是存在的 所以 改變一下自然數與實數的對應 只取個位數為0的自然數 而且 10對應0.1 20對應0.2 30對應0.3 40對應0.4 50對應0.5 60對應0.6...90對應0.9 100對應0.01 200對應0.02...

也就是 先將各個小數 表示成a*10^0+b*10^-1+c*10^-2+... 因為這裡的線段為實數的(0,1)線段 所以 a=0 而對應各個小數的自然數 也會是 ...c*10^2+b*10^1+a*10^0 其中a也是0

於是 (0,1)線段上所有的點 均能在三角形內找到對應的點

實數0.14 我們在三角形內找到與之對應的自然數就是410

實數0.14159 我們在三角形內找到與之對應的自然數就是951410

那實數pi-3=0.1415926...呢?

我們在三角形內找到與之對應的自然數就是 ...62951410

這個就是無窮大的自然數

為什麼 ...62951410這個無窮多位的符號 會是自然數?

這裡是關鍵 當我們對線段BD進行無窮多次等分的時候

因為線段BD是連續的 所以每一次的等分都能在BD上得到點並對應到三角形內

當我們第1次等分的時候 線段BD得到的點是0.1 0.2 0.3 0.4...0.9

而三角形內的點 用來對應的是 10 20 30 40...90 這裡都是自然數

也就是第一次等分得到的三角形內點

當我們第2次等分的時候 線段BD得到的點是0.01 0.02 0.03...0.11 0.12 0.13... 0.91 0.92 0.93 ...0.99

而三角形內的點 用來對應的是 100 200 300...110 210 310... 190 290 390...990 也都是自然數 從100 110 120 ...990

當我們第3次等分的時候 線段BD得到的點是0.001 0.002 0.003...0.011 0.012 0.013... 0.991 0.992 0.993 ...0.999

而三角形內的點 用來對應的是 1000 2000 3000...1100 2100 3100... 1900 2900 3900...9990 也都是自然數 從1000 1010 1020 ...9990

當我們第4次等分的時候 線段BD得到的點是0.001 0.002 0.003...0.011 0.012 0.013... 0.991 0.992 0.993 ...0.999

而三角形內的點 用來對應的是 1000 2000 3000...1100 2100 3100... 1900 2900 3900...9990 也都是自然數 從1000 1010 1020 ...9990

...

因為線段BD是連續的 所以不會產生 在等分時沒有得到點 也就是不管是哪一次的等分都能由10開始數數 數到該等分的在三角形內所得到的所有的點

當我們進行第n次等分的時候 也都會是自然數 (因為線段BD是連續的 所以不會產生 在等分時沒有得到點 也就是不管是哪一次的等分都能由10開始數數 數到該等分的在三角形內所得到的所有的點)

當我們進行第n+1次等分的時候 也都會是自然數 (因為線段BD是連續的 所以不會產生 在等分時沒有得到點 也就是不管是哪一次的等分都能由10開始數數 數到該等分的在三角形內所得到的所有的點) ...

直到將線段BD進行等分的次數 完成概念上 自然數集合 剛好把線段BD上的點全部畫到 完成 實數集合 所有在三角形內的點 都是自然數

包括

....62951410 這個無窮大的符號

這個就是 無窮大的自然數