（勉強時間）={6.27(N-50)+44.82}/10

Nのところに自分が受験する大学の偏差値を代入してください。

※偏差値70以上は正しく計算されません

終わり

参考サイト

ベネッセ総合教育研究所

https://berd.benesse.jp/berd/center/open/report/daigaku_jittai/hon/daigaku_jittai_1_2_3.html

2019/4/14

このデータから平均値、分散、標準偏差を計算し、勉強時間についての偏差値を計算する式を作りました。13時間以上は13時間で計算したのでかなり偏りがあると思います。

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いきなり例題です。

∫exp(x)cos(x)dx　　　　　　(exp(x)=e^x)

まずこれを教科書通りの方法で解いていきたいと思います。

与式=Iとする

I=exp(x)cos(x)+exp(x)sin(x)-I

∴I=(exp(x)cos(x)+exp(x)sin(x))/2

これが答えになります。この方法で楽にやるためにはテーブル法や瞬間部分積分などのワードで検索してみるとよいでしょう。しかしこの方法では、指数関数や三角関数の形が少し複雑になっただけで非常にエレファントな計算を強いられます。今回はこの形の積分を部分積分を使わずに解くという方法を紹介します。（高校数学の範囲で理解できますが、理論は大学数学の範囲なので答案に書くのは罪悪感や背徳感を生じることになります。）

まず、オイラーの等式というものを紹介します。

オイラーの等式

cos(x)+isin(x)=exp(ix)

これを使うことにより以下の式が成り立ちます。

cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2　　　

sin(x)=-i(exp(ix)-exp(-ix))/2　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　(∵cos(x)-isin(x)=exp(-ix)）

この上の式を例題に代入して解いてみましょう。（iについてはただの定数とみて積分してください。）

I=∫(exp(ix)+exp(-ix))exp(x)/2　dx

　=∫{exp((1+i)x)+exp((1-i)x)}/2　dx

　=exp((1+i)x)/2(1+i)　　+　　exp((1-i)x)/2(1-i)

　=(1-i)exp((1+i)x)/4　　+　　(1+i)exp((1-i)x)/4

　={exp(x)(exp(ix)+exp(-ix))/2-exp(x)i(exp(ix)-exp(-ix))/2}/2

　=(exp(x)cos(x)+exp(x)sin(x))/2

となり答えが同じになります。

この例題では丁寧に計算したために最初のものより長くなってしまいましたが、こちらのほうが微分を行わない分係数などのミスは減らすことができます。ぜひ使ってみてください。

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まず初めに二次方程式の解き方について復習したいと思います。

二次方程式；ax²+bx+c=0

を解くために、左辺について平方完成というものを行いました。左辺について平方完成を行うと、

左辺=a(x²+bx/a)+c

　　=a(x+b/2a)²-b²/4a+c

　　　=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a

となります。よって

a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a

すなわち

(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²

左辺の平方根を考えることによって

x+b/2a=±√(b²-4ac)/2a

∴x=(-b±√(b²-4ac))/2a

といったおなじみの解の公式が導出されます。

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ここで当然三次方程式についても、「解の公式があるんじゃね」と思うわけです。

実は解の公式はあります。これです。

参考：https://ja.wolframalpha.com/input/?i=solve%E3%80%80ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0

わけわかんないです…

これを暗記して使いましょう。などと言われたらもう泣くしかありませんね。

三次方程式の公式が教科書に載っていなかったことを感謝しましょう。

もちろん方程式は公式を使わなくても解けます。因数分解ですね。

三次方程式；x³-6x-4=0　　　　…①

は左辺が因数分解できるので、上記のような恐ろしい式を使わなくとも解くことができます。

復習がてらにやってみましょう。

x³-6x-4=(x+2)(x²+2x-2)より

x=1±√3,-2

となります。こんなふうにして、三次方程式を一般的に解くことはできないでしょうか。

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まず、三次方程式を強引に因数分解すると、

(x-a)(x-b)(x-c)=0　　　

となり、解の個数は多くても三個となることが分かります。また、適当な変形によって、三次の項の係数は１にできて、2次の項の係数は０とすることができます。（これを立方完成と呼びます。）つまり、

x³+ax+b=0

をみたすようなxを3個見つけてくればいいということが分かるのです。

これを文字のまま解こうとすると気持ち悪い式が出てくることが予想されるので、①について解いてみましょう。

x=u+vとすると、

(u+v)³-6(u+v)-4=0

これを変形して

{u³+v³-4}+{(u+v)(3uv-6)}=0

となり、1項目と2項目が0になるu,vは方程式を満たすことが分かります。

u+v=xは0でないと考えてよいので、そのようなu,vは以下の条件

u³+v³=4,u³v³=(uv)³=2³=8

を満たすことが分かります。足して4、かけて8になる数は

二次方程式；t²-4t+8=0

の解であるので、

u³=2+2i

v³=2-2i

となることが分かります。（対称性からどちらが＋でどちらが-かということは勝手に決めてもよいので上のように決めました。)

これを極表示してやると、

u³=2√2(cos(π/4+2πk)+isin(π/4+2πk))

v³=2√2(cos(π/4+2πk)-isin(π/4+2πk))　　　　(kは整数)

となります。ド・モアブルの公式より、

u=√2(cos(π/12+2πk/3)+isin(π/12+2πk/3))

v=√2(cos(π/12+2πk/3)-isin(π/12+2πk/3))

となり、この時k=0,1,2でx=u+vは3個の値をとるのでこれが解となり、

x=2√2cos(π/12+2πk/3)

　=1±√3,-2

となります。この方法によってどんな三次方程式も解けてしまいます。

今回は以上です。