まだの方はぜひ前回までの記事からご覧ください。

結局のところ“偏差値”って何？Part1〜正規分布とは〜

ポケモンの体長は正規分布なのだろうか？

前回まで見てきた通り、正規分布はその平均値と分散で概形が決まっています。

中でも平均0, 分散1の正規分布を標準正規分布と言います。これについてはよく調べられており、ある範囲の面積(積分値)に当たるその範囲の確率が知られています。

参考:標準正規分布表

これにより、標準正規分布においては、あるデータが上位何%なのかなどがわかるようになっています。

正規分布については以下の定理が知られています。

これにより上手くa,bを選んでやることで全ての正規分布を標準正規分布に変換することができることになります。この操作を正規分布の標準化と呼びます。

あるデータ群の各データXに対して次の操作をすることで標準化を行えます。

新たに出てきた標準偏差は記号の通り分散にルートをとったもの(正の平方根)となります。この新しいデータZは標準正規分布に従うことになります。

この式ややこしく見えるかもしれませんが、やってることは平行移動と定数倍です。

まずは、平行移動に関して。

これは標準正規分布の平均値のみを変化させた時のグラフの変化です。前の記事でも確認した通り、正規分布の山の頂上は平均値(＝中央値＝最頻値)となっているためx軸方向に平行移動した形になります。

つまり、ある一般的な正規分布のグラフを平均値の分だけ平行移動すれば、平均値が0の正規分布にすることができます。例えば黄色のグラフの全ての点でxを4引けば左方向に平行移動し、青のグラフと重なります。式で書けば、

です。

次は定数倍について。

こっちは標準正規分布の分散のみを変化させた時のグラフの変化です。分散=散らばり具合と説明した通り分散が大きいほど広い範囲に散らばっていることがわかります。

これは正規分布の指数部分のxと分散(標準偏差)のバランスで決まっているのでxを適切に定数倍することでグラフを太らせたり、痩せさせたりできます。(変数変換の際に微分dz/dxの逆数が現れるため、係数部分の標準偏差も打ち消される)

こんな感じで標準正規分布に帰結すれば、あるデータが上位何%等の情報が得られます。これこそが正規分布を取り扱う御利益であります。

例として前前回の17歳男子の平均身長のデータにコモコハン(23歳男性172cm)を入れると上位何%か調べてみましょう。

まずは、標準化を行います。

僕の身長はだいたい0.23くらいのところにあるとわかりました。次に標準正規分布表でこの値を確認します。少数第一位を縦軸, 第二位を横軸といった見方です。すると0.0910と読めます。これはZ=0~0.23に入る確率が9.10%ということです。

この図で確率は面積に当たります。ピンク部分が9.10%とわかり、ピンク部分と水色部分を足すとちょうど半分の50%となります。したがって水色部分の確率は

50-9.10=40.9%

これでコモコハンの身長は17歳男子のだいたい上位41%くらいであるとわかりました。

あれ？そんなに高くなくない？？

次回は偏差値について話して完結です！

40匹捕まえれて、なぜか色違い3匹も出てご満悦のコモコハンです

今は、外出自粛するように色々配慮もされててのんびりプレイしておりまする。

ところでポケモンGOだと同じポケモンでも一匹一匹高さと重さ違うんですよね。

剣盾にはないので、コレクション要素の高いポケモンGOならではの機能なんですね〜。

あれ？

これってもしや正規分布になってるんじゃね？？

正規分布なんぞって人は前の記事「結局のところ“偏差値”って何？Part1〜正規分布とは〜」を見てもらえるとありがたいです。ありがたすぎて感謝の正拳突きします。

せっかくケーシィたくさん捕まえたのでこいつらで確認してやりましょー！

前情報として図鑑でケーシィくんの身長調べておきましょー。

こいつの睡眠時間親近感覚えるわぁ。しかも食事も寝ながらとか羨ましいぜ。

図鑑によれば、高さは0.9mなんでこれが平均値かつ中央値かつ最頻値になってほしいですね。

では身長測定しまーす。はーい、一列に並んでー。おい、そこテレポートしない！

そして得られたケーシィくんたちの高さ一覧が次の表です。

このままではなんのこっちゃなのでヒストグラムを作ります。今回は階級を次の度数分布表のようにしました。

おおー、正規分布感出てるじゃん！

ここから平均と分散をEXCELを使って求めていきます。

C8ではC2~C7まで足して、個体数(B8)で割ることで平均を求めています。

平均はおよそ0.905mと求まります。

お、これは図鑑通りですな。

さらにF8ではF2~F7まで足して、個体数(B8)で割ることで分散を求めています。

分散はおよそ0.012と求まります。

これらを正規分布の式に代入し、重ねてプロットしてみました。

おおー、まぁまぁ近い！サンプル数たった38でもこれくらいになるのか！

もっともっと乱獲すれば綺麗な正規分布が得られそうな予感がしますな。

※そんなことしたら草むらからケーシィいなくなるからやめましょうね。

ポケモンたちも自然の摂理正規分布で高さが決まってるとわかったな。調べてないけど、多分重さも同様でしょうな。こんな細かいところ誰も気にしないだろうけど、こだわることで感覚的に違和感生まれないように作られてるんだなぁ。

ポケモンってすげー。

次回こそは偏差値の話したい。

偏差値こそ至高！偏差値が必要！偏差値が全て！

HE･N･SA･CHI!  HE･N･SA･CHI!

そんなふうに考えてる時期が俺にもありました。

流石に大学院生になって偏差値なんて一切気にしないし、偏差値なんかじゃ人の価値は測れないことも学びました。

ところで偏差値ってなんだァてめェ

なんとなく60あるとすごいとか、そんなイメージしかないよね。

当時高校生の僕も調べた記憶があるんですけど自分がだいたいどの辺にいるか分かるものくらいにしか理解できなかった覚えがあります。

今は、統計学が頻繁に出てくる半導体が専門なので、偏差値とは何か出来るだけわかりやすく解説しようと思います。

偏差値を理解するために　正規分布を知る必要があります。今日の記事(Part1)ではこの正規分布を説明します。

(僕はいつもガウス分布と呼んでいますが意味は同じです)

まずは、こちらの統計をご覧ください。

出典：「平成28年度全国体力・運動能力、運動習慣等調査報告書」平成28年、スポーツ庁より

これらはある範囲(階級)に何人いるか(度数)を柱状グラフで表した、ヒストグラムってやつです。データの分布(=ばらつき具合)が一目でわかるようになっています。

これらのグラフ、なんだか分布が似てるように見えません？左右対称の山みたいな…

そう、これこそが正規分布です。自然界にはこの正規分布が多々現れることがあります。カブトムシの大きさやオランウータンの腕の長さ, 人間の身長や体重,IQなんかも正規分布していると言われています。

なぜ自然界には正規分布に従うものが多いのかというよりは、自然界に現れたこの分布を正規分布と呼び始めたというのが正しいと思います。面白いですよね。

正規分布はグラフから“平均値＝中央値＝最頻値”となっており、

その平均値を軸に左右対称な山状の形です。平均の周辺に集中的に分布していることになっています。これらの特徴を難しい数式で書くと次のようになります。

exp()の意味は自然対数の底e(ネイピア数)の累乗です。この指数部分はマイナスなのでこの部分が大きくなる、つまりxが平均から上下に離れるほど急速に0に漸近するとういう、“平均値を頂上とした山の形”になっているわけです。

さて、新たに分散なるものが出てきました。統計が難しく感じるのはこういうワードがいくつも出てきて混乱する&意味を理解できない点にあると思います。これも説明します。

分散はデータが平均からどの程度ばらついているかを表す指標であり、“偏差の2乗の平均”で計算できます。

当然、偏差では上方向のズレはプラス, 下方向のマイナスで現れます。平均の特性上、この偏差を全て足し合わせると0になってしまいデータ全体でどの程度ばらついているかは評価できません。

そこでこの偏差を2乗することでこの問題を回避し、それらを足し合わせ、データ数で割ったものを分散と定義します。

最後に具体例を見てみます。

2019年度の17歳男子身長に対して正規分布を考えてみます。

出典：「政府統計の総合窓口(e-Stat)」、学校保健統計調査 / 令和元年度 全国表

これらのデータから平均値, 分散をそれぞれ導出し、正規分布の式に代入することで次のグラフが得られます。

このように正規分布を用いて、現実の統計分布を再現できていることがわかります。

ちなみにこのデータ170cm~170.9cmのところで奇妙に高くなってる気がしますね。これは本来169cmくらいの奴らが夢の170cm台に向けて頑張って背伸びしたことで169cmが減り、170cmが増えたんだと考えられます。しかし、自然の摂理に従えば彼らは160cm台です。ちなみに僕は172cmくらいです。ザマァ

つづく(次回は偏差値まで行きたい)

最近はニュースを見ても暗い話題ばかりだし、人と会う機会も減って引きこもり滅入っちゃいますよねー

そんなあなたに超絶元気の出るTHEイナズマ戦隊というバンドの曲を紹介したい！！！

最近新曲の"WABISABIの唄"がyoutubeにアップされました！！僕はこれをヘビロテで聞いています。

侘び寂びと聞くと、静かな日本庭園で趣のある感じのしっとりとした曲をイメージしますよね。

↑こんなん

しかーーし！この曲は全然おしとやかな感じではなく、イナ戦らしい明るく泥臭くテンションの上がる曲になってます！！！

「人生はドキドキを探す旅　七転び八起きでいいんじゃない」

こんな時期だし、外出れねーし、ドキドキを探すなんてできねーよ！

って思いますよね。でもそこは逆にこんな時期だからこそ出来ることを探して挑戦していきたいですよね！それがWABISABIをわきまえつつドキドキを探すことなんだと思います！！

筋肉体操の谷本先生はこう言ってました。

「やらない人ほどできない理由を探すのがうまい」

た、たしかに...

とても心に突き刺さりますな。てな感じで僕もブログ始めてみましたし、普段しない読書とかアニメ見たりとか色々挑戦していきたいなと思います！

THEイナズマ戦隊の曲はこれ以外にも元気の出る曲がたくさんあるので、ぜひぜひチェックしてみてください！騒動が収まったらまたライブも行きたいなーー

最近例のウイルスのニュースばかりですね。ニュースでも感染者数何人増えただの連日報道され、様々なグラフが度々登場しています。理系な自分にとってはグラフを見ると、「いや、縦軸と横軸それでいいのか」とか思いますよね。グラフってだいたい主張したいことを裏付けるために作られますけど、その時に不都合な部分は見えにくくされてたりとか...

研究をしていても自分でデータからグラフを作ることで可視化され、考察が進むことって多々あります。自粛中で暇なんでMATLABを使って各都道府県のコロナ感染者数の棒グラフでも作ろうと思います。

普段グラフを作るときはだいたいEXCELかMATLAB使ってるんですが、自分はMATLABの方が好きですね。グラフィック綺麗だし、すぐデータ加工できるから。普段は縦軸も横軸も数値(double型)の入ったベクトルをプロットするのに対し、今回は横軸は各都道府県のテキストを入れるとこが違いますね。結局よくわからなかったのでbar関数で棒グラフ作って、xticklabels関数でラベルづけすることにしました。あとはxtickangle関数で90度ラベルを反転させて完成です。

感染者数は4/22 10:30時点のものでNHKの特設サイト"都道府県別の感染者数（累計・NHKまとめ）"を参考にしてプロットし直しました。

https://www3.nhk.or.jp/news/special/coronavirus/data/

北海道, 東京, 愛知, 大阪, 福岡圏に山ができてるように見えますね。ここで思うのは「そこ政令指定都市とかだし、人口多いから多く見えるだけじゃね？」ですよね。

そこで次は各都道府県の人口をプロットしてみました。これは総務省統計局のHPにデータがありますね。ただし、外国人を含んだ総人口で評価しています。

http://www.stat.go.jp/data/jinsui/2019np/index.html#a05k01-b

先ほどの感染者数のグラフと同様、北海道, 東京, 愛知, 大阪, 福岡圏に山ができており相関があるように見えます。人多いから感染する人も多いってことですな。次は感染者数を人口で割って感染率(=人口の何パーが感染してんねん)を見たくなりますね。

っておーーーーーい！我が故郷の石川県に山できとるやんけ石川ってなんなら大阪とかよりやばそうなんだなぁ...ベリーショック。両親やじいちゃんばあちゃんにはぜひ気をつけてもらいたい。。。それでもやはり人口の多い東京はトップなのね。

まとめ

さて、何気なくテレビを開いたらマツコの知らない世界で「スマートスピーカーの世界」やってました。

実は、僕もAmazonのアレクサくんと同棲生活を始めてはや1年7ヶ月になりました。

学部4年生の頃に、部屋が汚過ぎてリモコンどっかいった！！！ってことがよく起きてたのでゴロゴロしながら家電動かしたいなぁと思って当時セールで売っていたEcho Spotの導入を決めました。今は2代目のEcho Show 5くんがお仕事してくれてます。もうこいつ無しでは生きていけない体になっちまった...

今日はそんな我が家のアレクサくんが普段やってくれていることをまとめてみました！

1. TV, 電気, エアコンを操作

2. 天気とニュース

3. Prime Videoでアニメ,映画を視聴

4. ビデオ通話

5. 英語をお勉強

6. 静けさを紛らわす

まとめ

 

Echo Show 5 (エコーショー5) スクリーン付きスマートスピーカー with Alexa、チャコール

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9,980円

 

大学も閉まっていて、すっかり引きこもり生活なので何か新しいこと始めようとブログ始動させました。

のんびりと日々気づいたこと、調べたこと、考えたこと書いていきたいなぁ