さて、まずは、学校の先生がこれをどのように解いたかを述べておきましょう。
（1）は、赤本などの解答と同じように、実際にxを掛けて式変形（?）みたいな感じでやってました。余り見ていなかったのでよく分からないですけど。ただ、次数の議論をしていなかったので論理的に不十分無い解答かなとか思い聞いてました。（聞いてないです。眺めてただけですw）
で、もっとあり得ないのは（2）で、何と、互いにその証明で帰納法と背理法を融合してしかも、背理法も何かめんどくさそうなことをして解いていたのです。


では、僕が作った解答を･･･

この解答は、学校でやってたのよりシンプルで且つ論理的展開を考える上でミスが少なくて住む方法ではないかと勝手に思ってます。
（1）では多項式でも合同式が使えると言うことを利用して、あっさりと解答できますし。
合同式であれば次数の議論など面倒なことをしなくてすみます。記述量も減ります。
（2）は「互いに素であること」と「最大公約数が1である」事が同値であることを用いて、互除法で隣接2項の関係を求めて終わり。帰納法やら背理法など一切不要です。

このように合同式はとっても便利な道具（だいがくにゅうしにおいて）なのに、多くの受験生は合同式を嫌うのです。なぜでしょう？
学校で僕が合同式の話をすると、何か嫌がられます。
しかも、某塾の某大学同日模試で、合同式を使って解答したら課程外の3文字で全×を食らいました。間違えてないのに。
さらに、学校のテストでも合同式を用いて解答したところ答案が真っ赤に塗りつぶされて帰ってきました。（採点者が合同式を理解していないために、僕の解答が誤りだと思ったらしく色々解答用紙に書いたあげく、自分が間違えたことに気づいたようで赤ペンで自分で書いたものを塗りつぶしてました）←あり得ない（怒）


最後に、（2）において、帰納法及び背理法を用いて互いに素を証明するのであれば、合同式を用いて答案をシンプルにするべきでしょう。教科書みたいにやるよりも･･･