2013年度　数学ⅠAセンター試験

Wed, 23 Jan 2013 01:27:40 +0900

解きましたー。
ⅠAは、あまり難しい問題がないと思います。
自分も解きましたが、６０分かからなかったです。
公式等、知ってるか知らないかで点数が広がるんじゃないかな。
ⅡBは見た感じ、時間かかりそうだし、難しそうです。

とりあえず、ⅠAの解説を自分なりにまとめました。
センターでの穴埋めの部分は、赤で記してあります。

第１問　
[1]
A=1/(1+√3+√6), B=1/(1-√3+√6)
1+√6を１つの塊として見れば、
AB=1/{(1+√6)^2 -3}
= (√6-2)/4

1/A、1/Bの値は、A、Bの逆数をとればいいので、
1/A+1/B=2+2√6

1/A+1/B=(A+B)/ABより、
A+B=(2+2√6)・(√6-2)/4=(4-√6)/2

[2]
(1)答えは①
説明する必要ありませんね。
(2)答えは①と④です。
これもよーく考えれば、すぐに答えられます。
(3)は、(2)より、必要条件ではない。分かりにくかったら、対偶をとればすぐにわかりますよ！
対偶を文章にすると「直角三角形かつ等しい内角がある」⇒「４５度の内角が存在する」
これは真。よって答えは②

第２問
点PがOに到達するのは、明らかにt=4のときである。
(1)問題文から、Pの座標を(-8+2t,8-2t),Qの座標を(t,10t)とおける。
これから、P'(-8+2t,0)、Q'(t,0)となって、
△OPP'の面積は(8-2t)^2・1/2=2t^2-16t+32
△OQQ'の面積はt・10t・1/2=5t^2
よって、面積S=2t^2-16t+32+5t^2=7t^2-16t+32

Sを平方完成すると、
S=7(t-8/7)^2+160/7より、t=8/7で最小値160/7となる。

(ⅰ)Sがt=8/7で最小となるようなaの範囲は、
a≦8/7≦a+1⇒1/7≦a≦8/7
(ⅱ)Sがt=aで最大となるaの範囲は、軸がa+1/2の右側にくればいいので、
a+1/2≦8/7⇒0
(2)y=2x^2を平行移動し、かつ原点を通る２次関数のグラフはy=2x^2+axと置ける。
ここをしっかりと置けるかが重要だと思います。置けたらあとはP、Qを通るって言ってるんだから、座標を代入して、a、tの連立方程式を解くだけです。計算は省きます。
計算すると、a=5,t=5/2となるので、求める２次関数はy=2x^2+5x.
これを平方完成すると、y=2(x+5/4)^2-25/8
したがって、関数y=2x^2のグラフを平行移動したものになるのは、t=5/2のときであり、x軸方向に-5/4、y軸方向に-25/8だけ平行移動すればよい。

第３問
ここは、図がしっかりと書ければそんなたいしたことないです。
図をしっかりと書ければ、
三平方の定理より、AP=√(9+1)=√10
sin∠OAP=1/√10より、
OD=2OM=2OAsin∠OAP=3√10/5
さらに、
cos∠OAD=(OA^2+AD^2-OD^2)/2・OA・AD=(9+9-18/5)/2・3・3=4/5
であり、直角三角形ABCで、
AC=ABcos∠BAC=6・4/5=24/5である。
相互関係より、sin∠BAC=3/5なので、
三角形ABCの面積=1/2・AB・AC・sin∠BAC=1/2・6・24/5・3/5=216/25
三角形ABCの内接円の半径をrとすると、
S=1/2(AB+BC+CA)rが成り立つので（この公式を知っていたら楽勝）、
r=2S/(AB+BC+CA)=(2・216/25)/(6+18/5+24/5)=6/5

(1)QRから、ACに垂線をおろして、その交点をH,Gとおくと、
QR=AC-HC-AG=AC-2r=12/5
したがって、内接円Q,Rは外接する。よって②が答え。

(2)sin∠QAD=QH/AQなので、
AQ=QH/sin∠QAD=6√10/5
PQ=AQ-AP＝6√10/5-√10=√10/5
したがって、答えは②

第４問
確率です。ここは点取り問題と言っていいでしょう。
今年のは、例年より簡単だと思います。

(1)4^4=256通り

(2)4!=24個

(3)
(ⅰ)₄C₂=6通り
(ⅱ)置く２箇所の決め方は、₄C₂=6通り
(ⅲ)上記より、求める個数は6・6=36通り

(4)
9点となる確率は、256通りのうち、1111、2222,3333,4444の4通りなので、
4/256=1/64
3点となる確率は、(3)より、36/256=9/64
2点となる確率は、3回現れる数字と1回現れる数字を選んで、3回現れる数字の置く位置を4つの中から3つ選べばよい。
したがって、₄C₁・₃C₁・₄C₃=48
よって、48/256=3/16
0点となる確率は(2)より、24/256
したがって、1点となる確率は1-4/256-36/256-48/256-24/256=144/256=9/16

得点の期待値は
E=144/256+96/256+108/256+36/256=384/256=3/2

ふー、解説終わり(笑)
ちょっとだけ省いた部分もあるけど、そこは自分でやってください(*'▽')
間違えてる部分あったら、遠慮なく！！

keeen

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