数学に関するブログ

Q=ax^2 +bx +c

や、

F=ax +b

のように書きたくなるかもしれませんが、慣れた人は具体的な表現は必要になったらすれば良いのです。あとFは1次以下と書きましたが、Fは定数の場合もあることに注意しましょう。

②P^2はQで割り切れるとありますが、別に式にする必要はないです。でも慣れないうちはちゃんと式にしましょう。

ある多項式Hが存在して、

P^2 = QH

と書ける。（が答案には必要ない）

　これで大丈夫です。ここまでで気をつけて欲しいのは、PやQをxを使って書いていないことです。一般論で議論することを心掛けましょう。

　[STEP2]

P^2を具体的に計算しましょう:

P^2=(QG+F)^2

=(QG)^2 + 2QGF + F^2

さてP^2はQで割り切れるますが、上記の第1項と第2項はQで割り切れます。あとはF^2ですが、もしQで割り切れないならばP^2がQで割り切れることに矛盾しますので、F^2もQで割り切れることが分かります。（整数問題と似たような議論が出来ていると思えばいいです。）

　[STEP3]

　Fの次数を確定しましょう。[STEP2]よりF^2はQで割り切れることが分かっているので、ある多項式Hを用いて、

F^2=GH

と書けます。Fは0ではない(もし0ならばQがPで割り切れることになる)ので、Fの次数が0、即ち、Fがある実数cを用いて

F=c

と書けるか、aは0でないとして(←これ重要)、

F=ax+b

と書けることになります。勿論a=0の場合を許して、この2つを纏めても良いです。Fは1次以下で0でないので、どちらかが否定できれば、もう片方であることが確定します。Fが定数と仮定すると、

F^2 = QH ⇔ c^2 = QH

と書けますが、左辺の次数は0ですが、Hの次数が0以上ならば右辺の次数は2次以上になるので矛盾します。H=0とすると、c=0が従い、F=0となりますが、これも矛盾します（因みに多項式0の次数が-∞であることを認めればこの議論は必要ありません。)。なのでFは定数でないことが分かります。以上からF=ax+b (a≠0)と書けることが分かります。

　[STEP4]

多分ここが一番難しいと思います。ここまで読んで結局Qの情報が何も得られて無いような気がするかも知れません。しかしもう勝負はついています。今Fは1次なので

F^2=(ax+b)^2

となって、F^2は2次式です。更にQも2次式で、F^2はQで割り切れるので、

F^2 = QH

と書けますが、もしHの次数が1次以上ならば右辺の次数は3次以上となり、左辺が2次式なので矛盾します。Fは0では無いので、Hの次数は0、即ちHが定数であることが分かります。よってH=d(≠0)(定数)と書けて、

F^2 = dQ ⇔ Q = F^2 / d

= (ax+b)^2 / d

となるので、方程式Q=0は(ax+b)^2=0と同値になり、確かに重解を持つことが分かります。これで証明が完了します。

　何か質問や誤植、理論の誤りが有ればコメントにお願いします。模範解答は気が向いたら載せます。他に解説して欲しい問題があれば、それもコメントにお願いします。気が向いたら解説を書きます。