世界一美しいと言われる所以についての記事でした。

今回はその登場人物である「e」、「π」、「+1」そして「0」の記事です。

まず、それぞれの数の定義を考えておくことにします。

よく分からないものや定義が曖昧なものを考えていると、途中から変なことが起きてしまいかねないので

基本的には日常で使う定義と同じような定義なので、暇なら読んでみてください。

とりあえず、一番身近であろう数「+1」と「0」についてです。

ここでは難しく考えずにとりあえず、

「+1」は自然数では最初に現れる数である、他の数にかけても相手の数が元のままである、他の数を割っても元の数のままである、すべての数の約数になることができるという性質を持っていると考えておきます。

「0」は他の数に足しても引いても相手の数が元のままである、他の数にかけると必ず0となる、他のどの数も割ることができない数であるという性質を持っていると考えておきます。

これらの性質を見てみたときに、お互いに共通というか、似たような点があることに気づきます。

どちらもある特定の演算において相手の数を保存することができるという性質です。

+1の場合は乗除算において、0の場合は加減算において

相手の数を保存することができるという性質です。

次は「π」です。この数は円周率と呼ばれます。

円周率を何桁も覚えようとした人もいるのではないでしょうか？笑

πは無理数と呼ばれる数で、円周の直径に対する割合という定義になっています。今回もその定義にしたがうことにします。

eはネイピア数と呼ばれる数で、この数は何回微分や積分をしてもeになるという性質を持っています。

定義は

ということになっています。

つまり、

のhをできる限り0に近づけた数ということです。

さて、これらの数を使っていろいろと考えてみようと思います。

前回、前々回ではオイラーの公式の解釈をしてきました。

今回は、公式がなぜ美しいと言われるかという所以を書いていこうかと思います。

まずは議題の中心に登場してもらいましょう。この式です。

この式は数学での基本的な数をすべて含んでいるにも関わらず、それ以外に余分なものがまったく含まれていないきわめて簡潔な式なのです。

e（ネイピア数、微分しても積分しても変化しない無理数）

i（虚数単位、すべての数の約数となれる数）

π（円周率、円周に対する直径の比として定義されるが、数学のみならず様々な分野で出現する重要な無理数）

1（すべての数の約数となれる数、虚数単位に対して実数単位と言えるかな）

0（零、この数でのみ割ることができないがこの数があるから方程式を解くことができるという特殊な性質を多く持つ数）

これらの数「のみ」が一堂に会した式なのです。

だからこそ、この式が美しいと言われるのです。

次回の記事ではこれらの数を利用していろいろと遊んでみようかと考えています。

オイラーの公式

の解釈をしていこうと思う。

この式は

左辺が

i（虚数単位）とθ（角度とか偏角とか言われる）の積の数だけe（ネイピア数）をかけたもの

右辺が

コサインの引数をθにしたものと、iとサインの引数をθにしたものを足し合わせたもの

となっている。

つまり、「i（虚数単位）とθ（角度とか偏角とか言われる）の積の数だけe（ネイピア数）をかけたもの」と「コサイ ンの引数をθにしたものと、iとサインの引数をθにしたものを足し合わせたもの」が等価であるということを意味してい る。

やはり、左辺については具体的な意味がよくわからないが、

右辺は三角関数で表される複素数であるということを意味しているというのが分かる。

左辺についての具体的な解釈は難しいので、なんだか「よく分からないもの」ものとして受け入れてしまおうと思う。 そこで、とりあえずこういう解釈ができるだろう。

「オイラーの公式はeを底とする指数関数の世界と三角関数の世界の橋渡しをしている式である」

とか、もう少し具体的に

「オイラーの公式は二つの三角関数の和を、一つの指数関数に変換できる式である」

つまり、オイラーの公式を使えばeを底とする指数関数の世界の話や問題を、三角関数の世界の話や問題として議論で きるということになる。問題を読み替えることができるということだ。

それができると何が嬉しいかというと、例えば、次の問題があったとする。

「を求めよ」

この場合、生真面目に展開公式を使って計算するなんてことをやっていたらとんでもない時間がかかってしまう。

そこで、もう少し速く簡単にできる計算方法ないだろうかと考える。

今回の場合はそのやり方があって、上で挙げたオイラーの公式を使うというやり方だ。

なので、両辺を実数n乗すると

という関係が導ける。この関係から、さっきの問題を解くときに膨大な時間を使って展開していく必要はなく、それぞ れの三角関数の引数を1024倍するだけでよい、ということが分かる。

そのため、

と、かなり早く簡単に解くことができた。これがオイラーの公式の威力だ。

という式がある。

この式はオイラーの公式と言われる

という式からきたものなのだが、この数式こそが世界一美しいと言われている公式なのだ。

この数式がとても素晴らしいものであるということを淡々と書いていく。

と、その前に上2つの数式の意味を解釈していこう。

一つ目の式は、

i（虚数単位）とπ（円周率）の積と同じ回数だけe（ネイピア数）をかけたものに1足したものが、

右辺、つまり0（ゼロ）と等価であるという意味である。

虚数と円周率の積と同じ回数・・・？

それって、、、何回・・・？

そもそも、虚数と円周率の積って数えられるの・・・？

それに、・・・etc.

・・・いろいろな疑問が出てくる式だ。とりあえず第一の式の解釈は保留としておこう。

（後でなんとかなるだろうという超楽観主義　笑）

じゃあ、二つ目に書いた式について解釈してみよう。

と、ここからはまた長くなりそうなので次回