数学むしゃむしゃおばけのブログ

ピアノアレンジ　Bravely You [Chrlotte op]

Thu, 13 Aug 2015 20:19:41 +0900

院試の勉強に飽きてきたので一日休憩して久しぶりに
ピアノでアレンジです.

久しぶりといっても多分、7年ぶりくらいでしょうか笑

ピアノは趣味でそこそこやってます.
羽生結弦のやってたショパンのバラードを次の本番は弾きます.

さて，アレンジしたCharlotteのopですが,

まずこれがアレンジ音源です.

楽譜のプレビューは↓↓↓

この楽譜の無料ダウンロード ↓↓↓

http://www1.axfc.net/u/3516933?key=musyamusya

もともとKeyっ子っすからCharlotte

見ないわけにはいきません!!!

コラッツの問題④

Sun, 12 Jul 2015 15:51:39 +0900

前回のコラッツの問題③の続きです。

下の命題を考えていました。

命題　次の二つは同値

①奇数であれば3倍してから1を加え，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[1 → 4 → 2 → 1]のループにたどり着く

②奇数であれば1を加えてから3倍し，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[3 → 12 → 6 → 3]のループにたどり着く

今回は①を満たせば②も満たすことを示して証明を終わらせます。

まずは②についての漸化式

を考えましょう。

初項が偶数であれば2で割り続けていつか奇数になります。

また奇数は1を加えてから3倍するので次の項は3の倍数になります。

よってどのような自然数が初項でもその数列は3の倍数のいずれかの項にもつことになります。

（　例：28 → 14 → 7 → 24　）

すなわち

3の倍数からスタートしたときにループ[3 → 12 → 6 → 3]に必ずたどりつくか

を調べればよいわけです。

ここである項が3の倍数であれば次項も3の倍数となります。

実際、ある3の倍数の項が偶数であれば、
2と3は互いに素であるからその項を2で割ることで得た次の項は因数3を含み
3の倍数です。
また奇数の場合は漸化式から明らかでしょう。

よって初項が3の倍数であればその数列のすべての項は3の倍数となります。

ここで初項を3の倍数として、次のような数列を考えます。

こうしてできた数列のすべての項は自然数であり
コラッツの問題③の時と同じように計算すると、

を得ます。

よって①を満たせば

この数列は[1 → 4 → 2 → 1]のループに必ず入ることになります。

これらを3倍することで

元の数列も[3 → 12 → 6 → 3]のループに入ることがわかります。

つまり②を満たします。

以上により①と②は同値です。

コラッツの問題③

Sat, 11 Jul 2015 19:05:47 +0900

今回は下の命題を考えていきます。

命題　次の二つは同値

①奇数であれば3倍してから1を加え，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[1 → 4 → 2 → 1]のループにたどり着く

②奇数であれば1を加えてから3倍し，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[3 → 12 → 6 → 3]のループにたどり着く

今回は②を満たせば①も満たすことを示します。

まずはコラッツの問題についての漸化式を与えます。

ここから次のような数列を作りましょう。

すると

すなわち

よって②を満たせば

この数列は[3 → 12 → 6 → 3]のループに必ず入ることになる。

これらを3で割ることで

元のコラッツの問題の数列も[1 → 4 → 2 → 1]のループに入ることがわかります。

つまり①を満たします。

コラッツの問題④に続く

コラッツの問題②

Fri, 10 Jul 2015 10:29:32 +0900

コラッツの問題で遊ぶことが結構あります。

とりあえず漸化式で表わすことにしましょう。

遊んでいるうちにこの命題と同値なものを見つけました。
具体的には

奇数であれば3倍してから1を加える操作を、

奇数であれば1を加えてから3倍する操作に置き換えます。

するとどんな自然数から始めても[3 → 12 → 6 → 3]
のループにたどり着くというのが同値な命題の主張です。

同値であることの証明はコラッツの問題③ですることにしましょう。
一言だけ言うと3の倍数が証明の鍵を握っています。

これが興味深いのは計算の順序をいれかえただけだということでしょうか。

今回はこれを漸化式で表わしておわりです。

コラッツの問題③に続く

コラッツの問題①

Fri, 10 Jul 2015 02:14:45 +0900

コラッツの問題って知っていますか？

まず好きな自然数を思い浮かべてください。

自然数は1,2,3,・・・でしたね。

では思い浮かべた数字からスタートします。

＊奇数だったらその数字を3倍してからそこに1を加えてください。
＊偶数だったら2で割ってください。

この操作を繰り返します。

例えば7からスタートします

7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20
→ 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 →4 → 2 → 1 → …

最終的にループ
1 →4 → 2 → 1

にたどり着きます。

コラッツの問題とは
「どんな自然数から始めてもループ[1 →4 → 2 → 1]にたどり着くか？」
というものです。

ちなみに今のところ世界で解いた人は一人もいません。

小学２年生でも問題文は分かるのに解けないなんて不思議ですよね。

コラッツの問題②へ続く

数学むしゃむしゃおばけのこと。このブログのこと。

Fri, 10 Jul 2015 01:51:19 +0900

はじめまして。数学むしゃむしゃおばけです。
このブログが今後何していくかをまずは書こうかなと思います。

私は基本的に代数幾何学を勉強しています。とはいえまだ始めて3ヶ月。
アフィン多様体、射影多様体、代数多様体、クルル次元、正則関数、射、有理関数体
と思い出される単語はここまで。先はまだまだ長く険しい。

もちろん一日中これを考えているかというとそうでもなく
疲れたら、全く違うことをして休憩しています。

休憩とはいっても数遊びか、ピアノを弾くかですけどね。

このブログの主なコンテンツとしてはそんな数遊びをしている中で出てきた
「ガラクタ的命題」とでもいうべき数の性質を書こうかなと。

あとは趣味の作曲のこととかピアノのこととかも書いていこうと思います。

まとめると数学むしゃむしゃおばけの代数幾何学を勉強していない時間の
記録、観察録といったところでしょうか。