『構想（Quillen完全圏論）』現代的にQuillen完全圏論を整備する場合，どのような事柄を載せるべきであろうか． 先ず最初に考えなければならないのは，関連する理論との関わりであろう．Qu…ameblo.jp

ここでは次のように述べた：

> 理論の間（理論は概念に対応するものとすれば，概念の間）に重みづけをどのように与えるか？という点になる．

> 観点としては歴史的経緯や具体例の豊富さが思いつくが，これは直観に頼る方がよい気もする．

> この辺りは悩ましく，方針を決めかねている．

湯舟に浸かりつつ構想を進める中で，概念としての重みづけは，最終的に本来開かれた議論によって行われるべきであろうと思い至った．

矢張り視座を増やさねば概念の一側面しか浮かび上がらないものであり，多人数の協調をなくして知を適切に集約することは難しい．

一方，書き進める段階では手が回る領域から整備せざるを得ないだろう．これは言わずもがなであるが．

次回があるとすれば，具体的にどのような項目を立てるべきかを考えていくことにする．

先ず最初に考えなければならないのは，関連する理論との関わりであろう．Quillen完全圏の由来を考えると，必然的にAbel圏に触れざるをえない．一方，Abel圏論をどの程度仮定するかは判断しづらい．また，ET圏論やWaldhausen圏論，導来可能圏ならびにPuppe完全圏論や原完全圏論との関係も考えなければならない．

一般に理論Xとその一般化に相当する理論Yとが与えられている状況を考えることにする．この状況に対する態度は様々だと思うが，次がすぐに思いつく．

(1) 理論Xと理論Yとは別物と捉え，重複を厭わず理論展開する．

(2) 理論Xのうち理論Yから継承できるものは，一切を省略する．

これは両極端といえる．今回は二つの理論しか考えていないが，具体的な状況としては … ⊂ Abel圏論 ⊂ 冪等完備Quillen完全圏論 ⊂ 弱冪等完備Quillen完全圏論 ⊂ Quillen完全圏論 ⊂ … のような系列が考えられるのであり，実際は分岐も大量に発生する．これらに対して (1) や (2) の態度を貫くと却って状況が分かりにくくなってしまう．

これを反省すると，(1) や (2) の中庸を取ることにならざるを得ないが，中庸を取る上では，先ず理論に重みづけをすることが肝要のように思われる．つまり，「Abel圏論」と「弱冪等完備Quillen完全圏論」とを同等に扱っているのが問題であると捉え，重要度が高いものは (1) の態度を取り，そうでないものは (2) の態度を取ることにする．

そうすると次に問題になるのは，理論の間（理論は概念に対応するものとすれば，概念の間）に重みづけをどのように与えるか？という点になる．観点としては歴史的経緯や具体例の豊富さが思いつくが，これは直観に頼る方がよい気もする．この辺りは悩ましく，方針を決めかねている．

また，基本方針として重複を厭わない場合にせよ，関連する理論に対する言及はあった方がよいだろう．実際の読者は想定以上に背景が異なるはずで，Quillen完全圏論を知った後に広がる景色はなるべく明瞭に記述してあった方がよい．

これを実現するには，導入部分に於いて (a) 先ず最初にa prioriに定義を与えてしまった上で (b) 次いで細かい理論展開をせずに弱い構造から徐々に近づいていく様を見せ (c) 一通り関係性を述べたらばQuillen完全圏論で扱う題材と，各題材に関係する諸理論とを整理するのがよいと思われる．

定義（Quillen完全圏）

Abel圏 $\abelcat{A}$ の充満加法部分圏 $\addcat{E}$ がQuillen完全圏であるとは，$\abelcat{A}$ に於ける短完全系列 $0 \rightarrow X \xrightarrow{\arrow{i}} Y \xrightarrow {\arrow{p}} Z \rightarrow 0$ について，$\obj{X}$ および $\obj{Z}$ が $\addcat{E}$ の対象ならば $\obj{Y}$ も $\addcat{A}$ の対象であることをいう．

このように，Abel圏への埋め込みが固定された加法圏に対してQuillen完全圏は定義されると思える．Quillen完全圏の定義に現れる充満加法圏の性質を，拡大で閉じている（或いは単に拡大閉である）と呼ぶ．具体例を構成する際，この定義は有用である．

しかし，純粋にQuillen完全圏の理論を展開する上では埋め込み先を考慮しなければならないのは不便である．そこで加法圏 $\addcat{E}$ の内在的な性質による特徴づけ，或いはこれが難しい場合は付加構造による特徴づけを与えられないだろうか？この問題はQuillen完全構造という形で解決される．

以下ではQuillen完全構造を定義し，付加構造によるQuillen完全圏の定義を述べる．特徴づけを与えていることの証明は直ぐにできないが，Quillen-Gabrielの埋込定理と呼ばれている．

定義（合成可能対）

圏 $\cat{C}$ の射の組 $\ordpair{ \arrow{f}, \arrow{g} }$ が合成可能であるとは，$\domain{ \arrow{g} }=\codomain{ \arrow{f} }$ が成立することをいう．合成可能な射の組を合成可能対といい，$\cat{C}$ の合成可能対の全体を $\compPairCls{\cat{C}}$ と書く．

$\cat{C}$ の合成可能対は，圏 $\twoCat$ から $\cat{C}$ への函手と云ってもよい．よって $\compPairCls{\cat{C}}$ は函手圏 $\FuncCat{ \twoCat }{ \cat{C} }$ の対象全体のクラスと考えられる．以降，二つの合成可能対の間の射や，それらの間の同型を考えるときは，この函手圏で考えるものとする．

また，$\twoCat$ に向かって $\oneCat$ からの二つの函手 $\functor{F}_{0,1}$ および $\functor{F}_{1,2}$ を考えることができ，これより函手圏の間の二つの函手 \FuncCat{ \twoCat }{ \cat{C} } \rightarrow \FuncCat{ \oneCat }{ \cat{C} }$ が定まる．これをそれぞれ $\inflateFunc$，$\deflateFunc$ と書く．

合成可能対 $\compPair{C}$ の $\inflateFunc$，$\deflateFunc$ による値は，それぞれ $\compPair{C} \comp \functor{F}_{0,1}$ および $\compPair{C} \comp \functor{F}_{1,2}$ であり，合成可能対の第一成分および第二成分を取り出していることに他ならない．この射を $\compPair{C}$ のインフレーションおよびデフレーションと呼ぶ．

$\cat{C}$ が $\SetCat*$-豊穣化可能なとき，この $\SetCat*$-豊穣構造を一つ固定するとそれに関する核の普遍性が考えられ，双対的に余核の普遍性を考えることもできる．以下ではこの概念を用いるので， $\SetCat*$-豊穣構造を固定している（即ち，$\cat{C}$ は $\SetCat*$-豊穣圏である）と仮定する．

なお，加法圏は零対象を持ち，よって零射を持ち，特に $\SetCat*$-豊穣化可能であることに注意する．

合成可能対 $\compPair{C}$ が左完全であるとは，$\inflateFunc{\compPair{C}}$ が $\deflateFunc{\compPair{C}}$ の核射であることをいい，右完全も双対的に定義する．両側完全であることを単に完全と呼ぶ．

定義（Quillen完全構造）

$\addcat{E}$ を加法圏とする．合成可能対のクラス $\exstr{\addcat{E}}$ がQuillen完全構造であるとは，

[label=\textbf{(Q-ex-\arabic*)}]

\item $\exstr{\addcat{E}}$ は同型で閉じている．

\item $\exstr{\addcat{E}}$ は分裂拡大を含む．

\item $\exstr{\addcat{E}}$ は完全である．即ち，これに属する任意の合成可能対は完全である．

\item $ \deflateFunc{ \exstr{\addcat{E}} }$ は $\MorCls{\addcat{E}}$ に沿った底変換が定義でき，かつ底変換で安定した $\addcat{E}$ の部分圏である．

\item $ \inflateFunc{ \exstr{\addcat{E}} }$ は $\MorCls{\addcat{E}}$ に沿った余底変換が定義でき，かつ余底変換で安定した $\addcat{E}$ の部分圏である．

\item 

を満たすことである．Quillen完全構造を備えた加法圏をQuillen完全圏と呼ぶ．

本記事では二通りのQuillen完全圏の定義を与えたが，既に述べた通りQuillen-Gabrielの埋込定理により同値性が示される．

基本的に，Quillen完全圏に関する基本的な議論をする際，即ちQuillen完全圏論の初歩を論じるときは，後者の付加構造による定義を採用することにする．これは，付加構造による定義を用いた議論の方がQuillen完全圏を更に一般化する際に有用であるからである．

一方，Quillen完全圏論の重要性は理論展開ができることのみでなく，矢張り豊富に例を持つことにも依っている．そしてこの具体例を考える上ではAbel圏の拡大で閉じた部分圏という側面は重要である．Quillen完全圏論の外側，即ちこれを利用する状況に於いては，前者の定義もしばしば用いることになるだろう．

1. 偏片側三角圏の一般論．特に適切な商を取ることで片側三角圏が構成できること．

2. 局所化三つ組の一般論．局所化三つ組から定まる自然な商が定義できる．更にファイブラント置換やコファイブラント置換に相当する操作を定義でき，これを用いて定まる適切な射のクラスを可逆にするホモトピー圏が，先の商と同型になることが示される．

3. 安定化部分圏（stabilizing subcategory）の理論．偏片側三角圏に対して定義される概念で，これを適切な商を取ることで片側三角圏が構成できる．

4. 前偏三角圏の一般論．この概念は本論文で導入されている．偏両側三角圏であって整合的なものとして定式化されるが，二つの構造の一部を用いて定まる部分圏が安定化部分圏であることを課す．よって，この安定化部分圏の商が両側三角圏になることが分かる．懸垂とループとが随伴になるなどの整合性が分かり，前三角圏が構成できる．

5. Hovey三つ組の理論．一般の完全圏に対してHovey三つ組は定義される．偏両側三角圏が構成されることは先行研究で知られているが，特に前偏三角圏であることが確かめられる．

おおまかにこのような構成である．より詳しい内容は折を見て述べることにし，大局的なことを記録しておく．

まずHovey三つ組の古典的な理論は完全モデル圏に対して展開されていたが，一般の完全圏に対してホモトピー圏を構成している点が優れている．モデル構造よりも弱いもののホモトピー論が展開できる程度に豊かな枠組みであることが分かる．この点を更に進めるならば，モデル構造を一般化する既存の諸枠組みと比較するところから始めるべきだろう．

なお，ホモトピー圏を構成する際には，Hovey三つ組から局所化三つ組を構成しており，局所化三つ組に対して定義しているホモトピー圏はイデアル商であるため，モデル構造が不要になっている．なお，Hovey三つ組から得られる局所化三つ組の場合，そのホモトピー圏は前偏三角圏から構成される前三角圏と全く同じ圏が得られる点に注意されたい（これは神秘的な結果ではなく，前偏三角圏をそうなるように定式化していると考えるべきであろう）．

次に前偏三角圏の構成に際して得られる図式 $\Cofcls/\trivcls \leftarrow \Bifcls/\trivcls \rightarrow \Fibcls/\trivcls$ に注目したい．この図式が片側三角圏のprileになっているかどうかが気になるところである．そのためにはまず $\Cofcls/\trivcls$ や $\Fibcls/\trivcls$ が片側三角圏かどうかを確かめるべきであろう．

参考: [1703.02809] A homotopy theory of additive categories with suspensions

『疑問』両側 $n$-懸垂圏 (left and right $n$-suspended categories) に対して Frobenius $n$-prile c…ameblo.jp

前回の記事では，Frobenius完全圏に対する安定圏の構成を素朴に完全モデル圏に対して一般化するとどのような記述になるかを考えてみた．

その中で，Frobeniusu性がないと二つの片側三角圏として安定圏が定義されることを述べ，これはモデル圏の文脈に於いて$\c{\cat}/\trivcls$ や $\f{\cat}/\trivcls$ という二つの圏が現れることに似ると指摘した．そして完全モデル圏の文脈の結果を，二つの片側三角圏から適切に三角構造が誘導されることで，結果的に一つの圏の上に両側三角構造が定まったと見られるのではないか？と方針を固めたところで終わったのだった．

このような状況を抽象化するには，「よい」函手に沿って片側三角構造が誘導される状況を考えることになる．特に，完全モデル圏の場合の「よい」函手 $\c{\cat}/\trivcls \leftarrow \cf{\cat}/\trivcls$ や $\cf{\cat}/\trivcls \rightarrow \f{\cat}/\trivcls$ の性質を抽象化し，定式化する必要があるだろう．

特に，その函手に沿って片側三角構造を誘導することを考えるのであるから，$\cf{\cat}/\trivcls$ に三角構造が定まることは一旦忘れた上で一般の加法圏からの加法函手に対する条件であるべきである．そのようなよい条件を満たす加法圏から片側三角圏への函手が与えられたとき，定義域の加法圏には片側加法圏の構造が誘導されなければならない．こうして左余三角反映的，右三角反映的という条件に辿り着く．

更に，$ \tricat{C_1} \xleftarrow{i} \addcat{X} \xrightarrow{j} \tricat{C_2}$ なるデータであって，$\tricat{C_1}$ が左三角圏，$i$ が左余三角反映的，$\tricat{C_2}$ が右三角圏，$j$ が右三角反映的であるようなものが与えられているとしよう．このとき，$\addcat{X}$ 上には $i$ の左余三角反映性および $j$ の右三角反映性から二つの片側三角圏の構造が誘導される（ように左余反映的および右反映的を定義している）．この二つの片側三角構造が整合的になるよう，元のデータに対していいくつかの技術的な条件を課したものを「片側三角圏のprile」と呼ぶことにすれば，「片側三角圏のprile」から自然に前三角構造が誘導されることになる．

このように抽象化することで，先に述べた具体例は，次のように整理される：完全モデル圏 $\ordpair{ \excat{E}, \modelstr$ }$ が与えられたとき，$ \f{\excat{E}}/\trivcls \leftarrow \cf{\excat{E}}/\trivcls \rightarrow \c{\excat{E}}/\trivcls$ 

は片側三角圏のprileを為す．従って，片側三角圏のprileの一般論より $\cf{\excat{E}}/\trivcls$ は前三角圏の構造が自然に定まる．この場合は特に三角圏にもなっているが，より統一的な視座を与えられたわけである．

ここまででprileを導入した論文（[参考文献]）の文脈とそこで示されていることを概説してきたが，これらの結果はまだ気になる点がある．

まず第一に，片側三角圏のprileから定まる前三角圏が三角圏になる条件をprileの言葉で記述するべきであろう．また，$ \f{\excat{E}}/\trivcls$ に片側三角構造が入ることもより見通しよく理解したいところである．これはモデル圏のような対称性の高い構造に対する研究というよりは，片側導来可能Waldhausen圏や装置のような枠組みで捉えるべき事柄のように思われる．

『疑問』両側 $n$-懸垂圏 (left and right $n$-suspended categories) に対して Frobenius $n$-prile c…ameblo.jp

前回までの話も含め，ここまでの話を纏めておこう．完全モデル圏 $\excat{E}$ を考えると， $\cf{\excat{E}}$ がFrobenius完全圏であることに注意して少し計算することで $\excat{E}$ のホモトピー圏が安定圏として実現できることが分かる．よって自然に三角構造を備えていることが帰結されるというところまで概説した．

では，Frobenius完全圏とは限らない一般の完全圏に対しては，以上の話はどのように一般化されるであろうか？これを考えるために，素朴に有限次元多元環上の有限生成加群の為す圏の場合を振り返ろう．

まずQuillen完全圏論側の事実として，（そのままの定義では）安定圏が定義できない．これは相対射影的対象の為すクラスと相対入射的対象の為すクラスとが一致していないことによるが，それぞれを経由する射の為すイデアルを考え，イデアル剰余を取ることはできる．

更に，この二つのイデアル剰余に対して，完全圏側で定義されているループ函手や懸垂函手を降ろすことを考える．これは整義的になることが確かめられ，更に自然に随伴が取れることもわかる．これにより片側三角圏が二つ得られることになる．

この方針だとこの辺りの整理が精いっぱいだと思われるが，モデル圏の一般論を確認した際に強調した点を振り返るとヒントが見える．即ち，「ここで，$\c{\cat}/\trivcls$ や $\f{\cat}/\trivcls$ では力不足であり，$\cf{\cat}/\trivcls$ を考える必要があることを強調してお」いたのであった．

既に知られていることとして，$\c{\cat}/\trivcls$ や $\f{\cat}/\trivcls$ は片側三角圏となっている．更に，\cf{\cat}/\trivcls$ からの随伴函手が自然に誘導される．二つの片側三角圏が現れる点が先ほどの安定圏の場合とどことなく似通っている．

つまり，完全モデル圏のホモトピー圏に三角圏の構造が定まることは，Happelの定理の帰結であると説明したが，より体系的で優れた理解が得られる可能性があるのである．即ち，「$\cf{\cat}/\trivcls$ という加法圏の上には，$\c{\cat}/\trivcls$ や $\f{\cat}/\trivcls$ なる片側三角構造から誘導される二つの片側三角構造が定まり，これが完全モデル圏の場合は整合的になるため三角構造が定まったことになるのである」というものが考えられるのではないか？と期待できる．

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今回は前回までの前座を踏まえて，安定圏の話をしよう．安定圏を考える上では多元環の表現論に触れざるをえないので，ここから始める．

多元環の表現論に於いて自然に現れる基本的な「函手」の幾つかは，相対射影的対象を潰す．そのためこの「函手」を本物の函手として取り扱うためには，相対射影的対象を通過する射を同一視するようなイデアル剰余を考えなければならない．また，双対を考えることで相対入射的対象を潰すような「函手」も自然に現れ，よってそれを通過する射を同一視するようなイデアル剰余を考えなければ函手として定まらない．

このように，双対を取っただけで二つの圏が現れるのは不便である．よってまずは相対射影的対象と相対入射的対象とが一致しているようなクラス，即ち，（正確にはホモロジー代数的な議論をするうえで不可欠な追加の条件を満たす必要があるが）Frobeniusu完全圏なるクラスを考えることで，「函手」とその双対が同じ圏への函手として実現することができ，簡便である．

このような理由でFrobeniusu完全圏は多元環の表現論で基本的な研究対象として考えられており，この文脈で現れるイデアル剰余を安定圏と呼んでいる．勿論，安定圏も矢張り古くからよく調べられており，三角圏の構造が自然に定まることが知られている．古典的なHappelの定理である．前の記事で完全モデル圏のホモトピー圏が三角圏になることを述べたが，これはHappelの定理の系と考えることもできる．

（続く）

参考: [1409.0200] Priles of one-sided triangulated categories and exact model categories (arxiv.org)

『疑問』両側 $n$-懸垂圏 (left and right $n$-suspended categories) に対して Frobenius $n$-prile c…ameblo.jp

源たる山が豊かだと，そこを発する流れが複数あることは珍しくない．Hoveyによる完全モデル圏の研究を山に見立てると，これと源を一とするも上記の流れとは異なる研究があり，これが今回紹介する結果である．標語的にいえば，Frobenius完全圏の安定圏としての視座の一般化といえるであろう．或いは，前三角圏に対する代数性を定義する上で先鞭をつける結果であったと将来的に整理されるかもしれない．

そもそもFrobeniusu完全圏の安定圏とは何か，という話をする前に，モデル圏側の整理をしておく．モデル圏の一般論から，モデル圏 $\ordpair{\cat, \modelstr}$ のホモトピー圏 $\Ho{ \cat, \modelstr }$ はファイブラントかつコファイブラントな対象の為す充満部分圏 $\cf{\cat}$ を用いて具体的に $\cf{\cat}/\trivcls$ として記述できる．これは弱同値による圏の局所化というnaiveなホモトピー圏の定義から考えるとモデル圏が大変優れた記述を与える枠組みだと納得されるところである．

ここで，$\c{\cat}/\trivcls$ や $\f{\cat}/\trivcls$ では力不足であり，$\cf{\cat}/\trivcls$ を考える必要があることを強調しておく．

特に完全モデル圏の場合を考えると $\cf{\cat}$ がFrobeniusu完全圏と呼ばれるよい完全圏構造を持つことが分かる．ここでFrobeniusu完全圏とは，相対射影的対象と相対入射的対象とが一致し，ともに十分に存在することをいう．このFrobeniusu完全圏は多元環の表現論の文脈でよく調べられている（詳しく調べたことはないが，Frobeniusuという修飾辞もFrobeniusu多元環に由来するものだと思う）．

ここまでの話は，完全モデル圏 $\excat{E}$ の場合に $\cf{\excat{E}}$ はFrobenius完全圏になると纏められる．更に少し計算することで $\excat{E}$ のホモトピー圏 $\cf{\excat{E}}/\trivcls$ はまさに安定圏と呼ばれているもの一致することも確かめられる．このことから，自然に三角構造を備えていることが帰結されるのである．

次回は安定圏について述べるところから始める．

（続く）

参考: [1409.0200] Priles of one-sided triangulated categories and exact model categories (arxiv.org)

『疑問』両側 $n$-懸垂圏 (left and right $n$-suspended categories) に対して Frobenius $n$-prile c…ameblo.jp

2014年のZhi-Wei Li氏による論文（[参考文献]）に於いて，prileなる概念が定義されていることを発見した．どうやらこの文献が初出のようである．本記事ではこの参考文献で述べられている事柄を簡単に纏めておく．

研究の源流は，Hoveyによる完全モデル圏の研究に遡る．ここで完全モデル圏とは，モデル構造 $\modelstr$ を備えた弱冪等完備な完全圏 $\excat{E}$ であって，$\ordpair{ \Cofcls, \Fibcls \cap \weqcls }$ および $\ordpair{ \weqcls \cap \Cofcls, \Fibcls }$ がともに完全弱分解系になることをいう（この条件を満たすモデル構造を，$\excat{E}$ の完全モデル構造と呼ぶ）．

Hoveyによる結果の詳述はここでは避けるが，大雑把にいえば，完全モデル構造とHovey三つ組と呼ばれる射のクラスの三つ組が一対一に対応することを述べるものである．モデル構造が完全構造と整合的であるとき，この対応によってホモロジー代数的な構造である余捻対との明示的な関係が見いだされたことになる．

完全圏と三角圏との間には類似する結果が知られている．多元環の表現論の文脈で頻繁に用いられる傾理論がその典型例であるが，このHoveyの結果についても矢張り三角圏類似が知られており，両者は既にET圏の文脈で統一されている．

歴史的にはまず三角圏類似が調べられた．2013年には中岡宏行氏によって三角圏に対する双余捻対に関する基礎理論が展開され，2015年にはXiaoyan Yang氏によって三角圏に対して整合的なモデル構造（三角モデル構造）との対応が定式化された．

更に2019年に中岡宏行氏とYann Palu氏らによってET圏に対するHovey双余念対（Hovey三つ組）と許容的モデル構造との間の一対一対応として整理され，先行研究が統一されたことになる．

（続く）

参考: [0907.2080] General heart construction on a triangulated category (I): unifying t-structures and cluster tilting subcategories

参考: [0910.2539] General heart construction on a triangulated category (II): Associated cohomological functor

参考: [1111.1820] General heart construction for twin torsion pairs on triangulated categories

参考: Model structures on triangulated categories

参考: Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures,

arXiv: [1605.05607] Mutation via Hovey twin cotorsion pairs and model structures in extriangulated categories

参考: [1409.0200] Priles of one-sided triangulated categories and exact model categories (arxiv.org)

弱冪等完備なET圏について，特にこれがQuillen完全圏であるとき，Quillen完全圏の文脈でよく知られている古典的な意味での弱冪等完備性と整合性が取れているという意味で，ET圏への自然な一般化の一つと考えられる．また，特に三角圏であるときは自然に弱冪等完備になっているため，三角圏でも完全圏でもないようなET圏に於ける弱冪等完備性を考える文脈でのみ，この一般化は意味を持ってくる．

この概念は，ET圏の文脈でHovey三つ組を考える上で肝要になってくる．

参考: [1912.00927v1] A Hovey triple arising from two cotorsion pairs (arxiv.org)