（※57）対称群の元を互換の積の形に変形する過程について、具体例を用いて述べる。

ｆ：（12345）→（51432）とする。このときｆは互換（3４）と３サイクルの元（125）

の積である。一般に、ｎサイクルの元は（123…ｎ）＝（12）（13）…（1n）という変形が可能である。したがって（125）＝（12）（15）となり、ｆ＝（34）（12）（15）と互換の積で表記できた。

（※58）「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」の対称式が、Ｈの作用で不変であることを確認する。

 　「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」の対称式は、式中の「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」をシャッフルしても不変な式を意味する。そこで「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」はＨの作用によってシャッフルされることを示そう。

　　Ｈの任意の元をｈとする。Ｈが群の公理をみたしていることから「ｈ₁（ｈ（θ））　ｈ₂（ｈ（θ））　ｈ₃（ｈ（θ））…」⊆「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」。

　　また一般の群においてｂа＝ｃаならばｂ＝ｃが成り立つ。対偶にかえてｂ≠ｃならばｂа≠ｃаである。したがって「ｈ₁ｈ　ｈ₂ｈ　ｈ₃ｈ…」はいずれも異なる置換であり、「ｈ₁（ｈ（θ））　ｈ₂（ｈ（θ））　ｈ₃（ｈ（θ））…」が「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」のシャッフルの結果であることが分かる。

（※59）定理23の同値変形について補足する。

（１）→（２）Mがガロア拡大体ならばαの任意のＱ上共役解はＭに含まれている。

（２）→（３）Ｍの元はｈの作用で不変である。

（３）→（４）両辺にθ→ｇ⁻¹（θ）を施した。

（４）→（５）Ａ（θ）に不変に作用する置換はＨの元である。

（５）→（６）ｇｈ∈ＨｇよりｇＨ＝Ｈｇ。

（６）→（５）ｇＨ＝Ｈｇより、ｇｈ∈Ｈｇ。

（５）→（４）Ｈの元はＡ（θ）に不変に作用する。

（４）→（３）両辺にθ→ｇ（θ）を施した。

（３）→（２）Ｈの任意の元の作用で不変ならばＭの元である。

（２）→（１）Ｇの元「ｅ＝ｇ₁　ｇ₂　ｇ₃…」について、「Ａ（θ）　Ａ（ｇ₂（θ））　Ａ（ｇ₂（θ））…」∈Ｍを解とする式はＱ上の式になる。原始元Ａ（θ）のＱ上共役解はこのうちの一部なので、Ｍはガロア拡大体の十分条件をみたしている。

（※60）[S₅－A₅]の元は、奇数個の互換の積で表記される。したがって[S₅－A₅]の元をかけあわせた積は偶数個の互換の積で表記でき、A₅に含まれている。また「аｃ＝ｂｃならばа＝ｂ」を対偶にかえて「а≠ｂならばаｃ≠ｂｃ」である。このことから‘作用’させる元を変えると、得られる積も変わることが分かる。

　　なお‘’をつけて‘作用’と表記したのは、作用する集合が群でないためだが必要なかったか。

（※61）G・H⊇A・H⊇B・H⊇C・H⊇…⊇e・Hは正規列となることを確認する。

たとえば、Ｂ・ＨがＡ・Ｈの正規部分群であることは以下のようにして分かる。

　 A・Hの元をаとして、а（B・H）＝（B・H）аを示そう。B・HはB、Hのすべての元から生成される群なので、その元はBの元とHの元による積の形で表記される。

この表記を仮に（ｂh…）とする。ここでBがAの正規部分群であること、HがGの正規部分群であることから、аb＝b’а、аh＝hа’という変形が可能である。これらの変形を繰り返すと、а（ｂｈ…）＝（ｂ’ｈ’…）аをみたすB・Hの元（ｂ’ｈ’…）が存在することが得られる。したがって、а（B・H）＝（B・H）аが成り立つ。

（※62）ガロア拡大体Ｌの原始元をθ、Ｌの任意の元をβとする。またＬのガロア群Ｇの部分群Ｈについて、その固定体をM＝Q（α）とする。β＝Ｂ（θ）にＨを作用させた際の軌道が、βのＭ上共役解と一致することを示そう。証明の流れはガロア対応の証明と同様になる。

　  βのM上最小多項式をｆ（α　ｘ）とする。

ｆ（α　β）＝ｆ（A（θ）　B（θ））＝０にアーベルの既約定理を適用しθ→θ’を施すと、ｆ（A（θ’）　B（θ’））＝０が得られる。したがってA（θ）＝A（θ’）ならば、B(θ’)はｆ（α　ｘ）＝０の解である。β＝B（θ）はHの作用でf（α　x）の解のいずれかに変わることになる。

またHの元を「e＝h₁　ｈ₂　ｈ₃…」として（ｘ－B（ｈ₁（θ）））（ｘ－B（ｈ₂（θ）））（ｘ－B（ｈ₃（θ）））…＝０をつくると、この式はβを解にもつM上の式になる。アーベルの既約定理より、βにHを作用させた際の軌道にはｆ（α　x)＝０の解すべてが含まれることが得られる。

あわせてHの作用でβがその全M上共役解に置換されることが示された。

（※63）作用させる群をＡ・ＨからＡ、Ａ／Ｂにかえても得られる軌道がかわらないことを確認する。

　    Ａ・ＨはＡ、Ｈのすべての元から生成される群なので、その元はＡの元とＨの元を用いて表記できる。たとえば、Ａ・Hのある元がa₁h₁a₂h₂（a₁、a₂∈A、ｈ₁、ｈ₂∈H）と表記できたとする。Hの正規性より、a₁h₁a₂h₂＝h’h”a₁a₂をみたすh’、h”∈Hが存在する。

　   また、β＝B（θ）∈MはHの作用で不変なので、B（θ）＝B（ｈ’ｈ”（θ））が成り立つ。アーベルの既約定理を適用して、両辺にθ→ａ₁ａ₂（θ）を施すと、

Ｂ（a₁ａ₂（θ））＝B(h’h”a₁a₂（θ）)。　

あわせてB（a₁h₁a₂h₂（θ））＝Ｂ（a₁ａ₂（θ））となり、Ａの元の作用の結果に書き換えることができた。

また、Ａの元ａ₁、ａ₂が剰余類群Ａ／Ｂの同一の剰余類ａＢに含まれているとする。このときＢはＡの正規部分群なのでaB＝Baよりａ₁、a₂∈Ba。a₁＝ｂ₁a、a₂＝ｂ₂aをみたすｂ₁、ｂ₂∈Bが存在する。

β＝B（θ）∈[B・H]はBの元の作用で不変なのでB(ｂ₁（θ）)＝B（ｂ₂（θ））が成り立つ。アーベルの既約定理を適用してθ→a（θ）を施すと、B(ｂ₁（a（θ））)＝B（ｂ₂（a（θ）））。

　　　あわせて、B（a₁（θ））＝B（a₂（θ））が得られ、同一の剰余類に含まれる元の作用の結果は一意に定まることが示された。

（※64）剰余類群を作用させる場合も、軌道と固定部分群による剰余類に１対１の対応がつくことを確認する。α＝A（θ）に剰余類Fの任意の元ｆを作用させた結果をA（F（θ））と表記することにする。ｆの選び方によらずA（F（θ））の値が一位に定まることが、剰余類群を作用させる際の前提となっている。

　　定理26とその証明を、剰余類群を作用させる場合に書き換えると以下のようになる。

（定理26’）

　ガロア拡大体Lの原始元をθ、ガロア群Gの剰余類群をG／Hとする。G／Hの任意の２つの元をF₁、F₂とし、Lの任意の元αのθ形式をＡ（θ）とする。また、G／Hを作用させた際のαの固定部分群をH’／Hとする。

このとき、①「Ａ（F₁（θ））＝Ａ（F₂（θ））が成り立つこと」と②「F₁、F₂が固定部分群H’／H による同一の剰余類に含まれていること」は同値である。

したがって、Ａ（θ）の軌道と固定部分群H’／H による剰余類には１対１の対応がつく。

証明）証明は以下の同値変形による。

（１）「Ａ（F₁（θ））＝Ａ（F₂（θ））が成り立つ」

　　　⇔（２）「Ａ（θ）＝Ａ（F₂（F₁⁻¹（θ））が成り立つ」

　　　⇔（３）「F ₂・F₁⁻¹∈（H’／H ）」

　　　⇔（４）「F₂∈（H’／H）・F₁」

　　　⇔（５）「F₁、F₂がH’／Hによる同一の剰余類に含まれている」　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（※47）整数の割り算ａ÷ｂ＝ｃ…ｄにおいてｂ>ｄ≧０をみたす余りｄが必ず存在する　　　

　ことが除法の原理として知られている。同様に多項式の割り算ｆ（X）÷ｇ（X）についてもdegｇ（x）>deg ｈ（X）≧０をみたす余りｈ（X）の存在が保証されている。

　　多項式の割り算を行う際には係数の四則演算を繰り返すことで「割られる式」の次数を下げていき、「割られる式」の次数が「割る式」の次数を下回ったところで計算は終了する。このことが除法の原理が成り立つ要因である。

　　これらの操作はQ上の多項式のみならず、任意の拡大体M上の多項式でも可能なので、除法の原理は任意の拡大体において成り立つ。

（※48）定理２の証明中の（１）、（２）に補足を加える。

　（１）については以下のようにして分かる。а÷ｂ=ｃ…ｄのとき、ｄ=ａ－ｂｃが成り立つ。ａⅩ+ｂＹ=１…①が整数解をもてば、ｄＸ+ｂＹ=（а‐ｂｃ）Ｘ＋ｂＹ＝１…②も整数解をもつ。①式の解を（ｓ　ｔ）としたとき、（ｓ　ｔ＋ｃｓ）などが②式の解となる。

　　　またｂとｄが互いに素でなければ、ｂとｂｃ＋ｄ＝аも互いに素でない。対偶にかえてаとｂが互いに素ならば、ｂとｄも互いに素である。

　　　上記の理屈は、а～ｄが整数であっても多項式でもあっても変わらない。

（※49）原始元の存在（定理４）の証明にいくつか補足を加える。

　代数的単拡大列をQ→M₁→M₂→M₃とする。（１）「２回の代数的単拡大をへて構成された体が単拡大体であること」がみたされていれば、M₂は単拡大体であり原始元が存在する。Q→M₂→M₃に注目して再び（１）を用いると、M₃が単拡大体であることが得られる。

α、β∈Q（α＋qβ）とするとα、βはいずれも（α＋ｑβ）形式で表記できる。したがって、Q(α　β)のすべての元は（α＋ｑβ）形式で表記され、Q（α　β）⊆Q（α＋ｑβ）が導かれる。同様にα＋ｑβ∈Q(α　β)ならば、Q(α＋ｑβ)の元はいずれも（α　β）形式で表記でき、Q（α　β）⊇Q（α＋ｑβ）が得られる。

ｇ（α＋qβ　X）、ｆ（α＋qβ－qX）がβ以外に共通解をもてば、Ｘ＝β’と（α＋qβ－qX）＝α’を合わせて（α＋qβ－qβ’）＝α’。すなわちq＝（α－α’）÷（β－β’）となる。したがってこの等式をみたさないようなｑを選べばよい。

（※50）定理３の証明では「θ形式で表記できる数の集合」が体になっていることを確認した。その証明をＱ（α）上のβ形式におきかえると以下のようになる。

 まず、Ｑ（α）上のβ形式の集合が四則演算で閉じていることを確認する。以下、βのQ上最小多項式をｆ（α　X）＝０とする。

　　　Ｑ（α）上のβ形式2数の和・差がＱ（α）上のβ形式になることは明らか。

　　　Ｑ（α）上のβ形式2数の積ｈ（α　β）は、βの次数がＱ（α）上のβ形式の定義からオーバーしている可能性がある。その場合、ｈ（α　X）をｆ（α　X）で割って、deg　ｆ（α　X）>deg 　ｈ’（α　X）をみたす余りｈ’（α　X）を求める。ｈ（α　β）=ｈ’（α　β）より、ｈ’（α　β）が2数の積に等しいＱ（α）上のβ形式である。

　　　最後にＱ（α）上のβ形式2数ｇ（α　β）、ｈ（α　β）について、ｇ（α　β）÷ｈ（α　β）の商となるＱ（α）上のβ形式が存在することを確認する。証明は以下のように変形できる。

→（１）「Yを未知数とする不定方程式ｇ（α　β）=ｈ（α　β）Yが解となるＱ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。

→（２）「１=ｈ（α　β）Yが解となるＱ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。

→（３）「Y、Zを未知数とする不定方程式１=ｆ（α　β）Z+ｈ（α　β）Yが解となる

Ｑ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。

→（４）「１=ｆ（X）Z+ｈ（X）Yが解となるＱ（α）上の式をもつこと」を示せばよい。

したがって証明は定理2’に帰着する。

（※51）２変数の基本対称式は「ｘ＋ｙ　ｘｙ」の2式である。また、３変数の基本対称式は「ｘ＋ｙ＋ｚ　ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｙ　ｘｙｚ」の３式である。次数１の「ｘ＋ｙとｘ＋ｙ＋ｚ」、次数２の「ｘｙとｘｙ＋ｙｚ＋ｘｙ」がそれぞれ対応している。

（※52）ｆ＝ｘ³＋ｙ³＋ｚ³とする。ｘに０を代入し、ｆ’＝ｙ³＋ｚ³＝（ｙ＋ｚ）³－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）を得る。ｙ＋ｚとｘ＋ｙ＋ｚ、ｙｚとｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚがそれぞれ対応しているので、ｇ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）³－３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ）（x＋ｙ＋ｚ）である。

（※53）対称式の基本定理の証明では、ｆ’、ｈが基本対称式化可能であることを仮定して、ｆが基本対称式化可能であることを示した。すなわちｆが基本対称式化可能であることを示すには、ｆ’、ｈが基本対称式化可能であることを示せばよいことになる。このように証明すべき式を変数もしくは次数の低い式に変えていき、最終的には変数１もしくは次数１の式に証明を帰着させるというのが二重帰納法の真意である。

（※54）ｘ⁻¹ｘ＝ｅからｘｘ⁻¹＝ｅを導こう。両辺に左からｘをかけるとｘｘ⁻¹ｘ＝ｘ、すなわち（ｘｘ⁻¹）ｘ＝ｘが得られ、ｘｘ⁻¹＝ｅが分かる。この逆元との可換性はコーシーの定理（定理18）の証明に用いることになる。

（※55）コーシーの定理の証明中の（１）、（２）について補足する。

位数ｎの群Gから重複を許してｐ－１個の元を選ぶ方法はｎのｐ－１乗通りである。これらについてそれぞれ逆元をかけるとeになることから（１）が分かる。

また、（※54）で述べた逆元との可換性をふまえると、ｐ個の元の積（123…ｐ）がeならば、これをスライドさせた（23…p１）、（34…ｐ12）…の積もeになることが分かる。またｐが素数なので、（123…ｐ）の中に異なる複数の元に含まれていれば、ｐ回のスライドで異なるｐ個の選び方が得られる。あわせて（２）が示された。

（※56）互換２個の積について以下のように分類する。

　２個の互換が同一の互換であるとき、その積は単位元ｅになる…①。また２個の互換　　

に同一の数字が含まれていないとき、その積は可換である…②。２個の互換が共通の数字を１個含んでいる場合は、共通する数字を変えてから積の順序を反転させる操作で不変である…③。

　上記①～③を等式化すると以下のようになる。

①    （аｂ）（аｂ）＝単位元ｅ

②    （ａｂ）（ｃｄ）＝（ｃｄ）（аｂ）

③    （аｂ）（ｂｃ）＝（ｂｃ）（аｃ）＝（аｃ）（аｂ）

特に③の変形は以降何度も引用することになる。

定理29～30、定理27、定理31～32の順に証明を述べる。

（定理29）

５次交代群A₅の位数は60か120のいずれかである。

証明）Ａ₅の位数が120でない場合、60であることを確認する。

Ａ₅は５次対称群Ｓ₅の部分群である。Ｓ₅の元のうちＡ₅に含まれない元の集合をＳ₅－Ａ₅と表記することにする。

ラグランジュの定理（※34）により、Ａ₅の位数は120の約数「120、60、40、30…」のいずれかである。したがって、Ａ₅⊂Ｓ₅のとき、[Ｓ₅－Ａ₅の位数]≧[Ａ₅の位数]が成り立つ。

またＳ₅－Ａ₅の元の１つにＳ₅－Ａ₅を‘作用’させると、いずれも相異なるＡ₅の元に変化する（※60）。したがって[Ｓ₅－Ａ₅の位数]≦[Ａ₅の位数]が得られる。

あわせて、Ａ₅⊂Ｓ₅ならば[Ｓ₅－Ａ₅の位数]＝[Ａ₅の位数]が成り立ち、Ａ₅の位数は60である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理30）

５次交代群A₅は可解群ではない。

証明には、交換子・交換子群という用語を用いる。群Gの任意の元ｘ、ｙを用いてx⁻¹y⁻¹xyという形で表記できる元をＧの交換子という。また、Ｇに含まれるすべての交換子によって生成される群をＧの交換子群という。すなわち、Ｇの交換子すべてを含む最小の群がＧの交換子群ということになる。交換子群が、交換子のみからなるとは限らないことに注意されたい。

証明）Ａ₅の正規部分群のなかで、剰余類群が可換群となる部分群をＮとする。定理30を示すにはＮにあてはまる群はＡ₅のみであることを示せばよい。A₅⊇Nは明らかなのでＡ₅⊆Ｎを示そう。

　Ａ₅／Ｎは可換群という仮定より、Ａ₅の元ｘ、ｙについて（ｘＮ）（ｙＮ）＝（ｙＮ）（ｘＮ）が成り立つ。等式を変形すると、ｘ⁻¹ｙ⁻¹ｘｙ∈Ｎが導かれる。したがってＮには、Ａ₅の任意の交換子が含まれており、Ｎ⊇「Ａ₅の交換子群」が得られる。

　またすぐ後に示すように、（１）「Ａ₅の任意の元は、交換子の積の形で表記することができる」。したがって、Ａ₅⊆「Ａ₅の交換子群」。Ａ₅⊇「Ａ₅の交換子群」は明らかなので、Ａ₅＝「Ａ₅の交換子群」が成り立つ。

　あわせてＮ⊇「Ａ₅の交換子群」＝Ａ₅より、Ａ₅⊆Nが得られた。

最後に（１）を確認しよう。なお以下の互換に関する等式変形は（※56）の結果を用いている。

Ａ₅の元は偶数個の互換の積の形に書き表せる。したがって２個の互換の積が交換子の積の形で表記できることを示せばよい。

２個の互換の積のうち（аｂ）（ｂｃ）のように、文字の1つが重複するものをＡタイプの積、（аｂ）（ｃｄ）のように文字が重複しないものをＢタイプの積とよぶことにする。

（аｂ）（ｃｄ）＝{（аｃ）（ｂｃ）}{（аｃ）（ｃｄ）}よりＢタイプの積は、Ａタイプの積をかけあわせた形で表記できる。

またＡタイプの積については（аｂ）（аｃ）＝（ｂｃ）（аｃ）（ｂｃ）（аｃ）が成り立つ。したがってＡタイプの積は交換子である。

あわせて、Ａ₅の任意の元が交換子の積の形で表記できることが示された。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理27）

５次対称群S₅は可解群ではない。

証明）S₅の正規部分群のなかで、剰余類群が可換群となる部分群をＮとする。定理27 を示すにはＮにあてはまる群はS₅もしくはA₅であることを示せばよい。以下、Ａ₅⊆Ｎを示そう。

　S₅／Ｎは可換群という仮定より、S₅の元ｘ、ｙについて（ｘＮ）（ｙＮ）＝（ｙＮ）（ｘＮ）が成り立つ。等式を変形すると、ｘ⁻¹ｙ⁻¹ｘｙ∈Ｎが導かれる。したがってＮには、S₅の任意の交換子が含まれており、Ｎ⊇「S₅の交換子群」。「S₅の交換子群」⊇「A₅の交換子群」＝A₅とあわせて、N⊇A₅が得られる。

　N⊃A₅の場合は定理29よりN＝S₅なので、NがS₅もしくはA₅であることが示された。　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理31）

「ガロア拡大体・可解群」のLの中間体Mがガロア拡大体であるとき、Mも「ガロア拡大体・可解群」である。

証明）Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。また、Mの固定群をHとする。このときMのガロア群は剰余類群G／Hと同型になる。以下、Mのガロア群が可解群であることを示そう。

　まず、表記について以下の２つの取り決めをする。

　２つの群G、G’のすべての元によって生成される群をG・G’と表記することにする。このとき、G・G’⊇GかつG・G’⊇G’が成り立つ。

　また群Gの固定体を[]を用いて[G]と表記することにする。上記の設定では、[G]＝Q、[H]＝Mである。

　仮定により、Gは可解群である。Gの可解列をG⊃A⊃B⊃C⊃…⊃eとする。このとき各剰余類群「G／A　A／B　B／C…」は可換群となる。

　またG・H⊇A・H⊇B・H⊇C・H⊇…⊇e・Hは正規列となる（※61）。したがって、[G・H]→[A・H]→[B・H]→[C・H]→…→［e・H］＝Mはガロア拡大列となる。Ｍのガロア群が可解群であることを示すには、各拡大のガロア群が可換群であることを示せばよい。

　以下、各拡大のガロア群が可換群であることを確認する。［A・H］→［B・H］のガロア群に話を絞って証明を進めるが、その他の拡大についてもまったく同様の議論が成立する。

　一般にLの任意の元α＝A（θ）に、Mの固定群Hを作用させると、その軌道はαのM上共役解と一致する（※62）。［A・H］→［B・H］の原始元をβとすれば、β＝B（θ）はA・Hの作用により、［A・H］上最小多項式の全共役解に置換される。したがってこの作用による置換が、［A・H］→［B・H］のガロア群となる。

　ここで、βはMの元なのでHの作用で不変である。したがって、A・HのかわりにAを作用させても得られる軌道は変わらない。

　また、B・H⊇Bより［B・H］⊆［B］が成り立つ。したがってβ∈［B］より、βはBの作用により不変である。したがって剰余類群A／Bの剰余類から代表元を１つずつ選んで作用させても、やはり軌道は変わらない（※63）。

　このように、剰余類群の各剰余類の元を１つずつ選んで作用させることを「剰余類群を作用させる」と表現することにする。剰余類群を作用させる際にも、軌道と固定部分群による剰余類群に１対１の対応がつくことについては（※64）で確認している。

さて、可換群では任意の部分群による剰余類群が可換群となる。剰余類群A／Bは可換群

であったから、その剰余類群は可換群である。このことを用いるとA／Bによる作用の軌道「［A・H］→［B・H］のガロア群」と可換群の各元の間に1対１の対応をつけることが可能である。

具体的な対応関係は以下のようになる。

A／Bの作用によるβの固定部分群をH／Bとし、剰余類（A／B）／（H／B）の類Fに含まれる任意の元をｆと表記することにする。このとき「ｂ→ｆ’（ｂ）」＝「B（θ）→B（ｆ（θ））」が成り立つよう、Fとｆ’を対応させる。

最後にこの対応が演算の結果に保存されることを確認しよう。Ｆ₁・Ｆ₂とｆ₁’・ｆ’₂が対応していることを示すには、ｆ₁’（ｆ’₂（Ｂ（θ）））＝Ｂ（ｆ₁（ｆ₂（θ）））が成り立つことを示せばよい。

ｆ’₁（Ｂ（θ））＝Ｂ（ｆ₁（θ））にアーベルの既約定理を適用して、θ→ｆ₂（θ）を施すとｆ’₁（Ｂ（ｆ₂（θ））＝Ｂ（ｆ₁（ｆ₂（θ））が得られる。Ｂ（ｆ₂（θ））＝ｆ’₂（Ｂ（θ））なので求める等式が得られた。

以上で、「［A・H］→［B・H］のガロア群」が可換群であることが示された。その他各拡大のガロア群も同様に可換群であり、Ｍのガロア群は可解群である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理32）

ガロア拡大列Q→M→Lにおいて、Mを１の原始ｎ乗根を含むガロア拡大体とし、M→Lをβを原始元とする{ｎ次}べき根拡大とする。

このとき、Ｌに「βのＱ上共役解を原始元とする{ｎ次}べき根拡大」を重ねることでβの全Ｑ上共役解を含む拡大体Ｌ’を構成できる。

ただし{ｎ次}べき根拡大とはＭの元のｎ乗根を原始元とする拡大を意味している（※46）。

証明）Ｍ→Ｌは{ｎ次}べき根拡大なので、βはＭの元のｎ乗根である。Mの原始元をαとすれば、βを解にもつＭ上の式ｘⁿ－ｆ（α）＝０が存在する。

　αのＱ上共役解の集合を「α＝α₁　α₂　α₃…」とする。Mはガロア拡大体なので、「ｆ（α₁）　ｆ（α₂）　ｆ（α₃）…」∈Mである。ここで以下の式をつくる。

{ｘⁿ－ｆ（α₁）}{ｘⁿ－ｆ（α₂）}{ｘⁿ－ｆ（α₃）}…＝０… ①

対称式の基本定理（定理９）より、①式はβを解にもつQ上の式である。アーベルの既約定理により、βの任意のQ上共役解β’は①式の解になる。

またM⊂Lより、Mの元はLの元でもある。したがって、「ｆ（α₁）　ｆ（α₂）　ｆ（α₃）…」∈Lより、Lにこれらのｎ乗根を加える拡大は{ｎ次}べき根拡大である。１の原始ｎ乗根がLに含まれていることから、これらの{ｎ次}べき根拡大によってβの全Q上共役解を含む拡大体L’が得られる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

§2.7　可解群関連証明

定理23、定理26、定理24～25の順に証明を述べる。

（定理23）

　ガロア拡大体Lに関する代数的拡大列をQ →M→Lとし、Lのガロア群をGとする。

このとき①「Q→Mがガロア拡大であること」と②「Mの固定群HがGの正規部分群であること」は同値である。

　証明）Ｌ、Ｍの原始元をそれぞれθ、αとし、αのθ形式をα＝Ａ（θ）とする。またＧ、Ｈの任意の元をそれぞれｇ、ｈと表記することにする。

証明は以下の同値変型から得られる。

　　（１）「Ｍがガロア拡大体である」

　⇔（２）「Ａ（ｇ（θ））∈Ｍ」

　⇔（３）「Ａ（ｇ（θ））＝Ａ（ｇ（ｈ（θ）））が成り立つ」

　⇔（４）「Ａ（θ）＝Ａ（ｇｈｇ⁻¹（θ））が成り立つ」

　⇔（５）「ｇｈｇ⁻¹∈Ｈ」

　⇔（６）「ＨがＧの正規部分群である」

各同値変形の詳細については（※59）で補足している。　　　　　　　■

（定理26）

　ガロア拡大体Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。Gの任意の２つの元をｆ、ｇとし、Lの任意の元αのθ形式をA（θ）とする。またαの固定部分群をHとする。

このとき、①「A （ｆ（θ））＝A （ｇ（θ））が成り立つこと」と②「ｆ、ｇがHによる同一の（右）剰余類に含まれていること」は同値である。

したがって、A（θ）の軌道とHによる剰余類には１対１の対応がつく。

証明）証明は以下の同値変型による。

（１）「A （ｆ（θ））＝A （ｇ（θ））が成り立つ」

　　　⇔（２）「A （θ）＝A （ｇ（ｆ⁻¹（θ））が成り立つ」

　　　⇔（３）「ｇｆ⁻¹∈H」

　　　⇔（４）「ｇ∈Hｆ」

　　　⇔（５）「ｆ、ｇが同一の剰余類Hｆに含まれている」　　　　　　■

　（定理24）

　ガロア拡大体Lに関するガロア拡大列をQ→M→Lとする。また、Lのガロア群をGとし、Mの固定群をHとする。

　このとき、「Q→Mのガロア群」と「剰余類群G／H」は同型である。

　証明）M、Lの原始元をα、θとし、α＝A（θ）とする。αにＧを作用させた際の軌道は、αの全Q上共役解に一致する。また、αの固定部分群はHである。

　したがって定理26より、Mのガロア群と剰余類群Ｇ／Hの各元には1対１の対応がつく。

具体的な対応関係は以下のようになる。

剰余類群G／Hの任意の類をFとし、Fに含まれる任意の元をｆとする。「剰余類群G／H」の元Fに対し、「α→ｆ’（α）」＝「A(θ)→A（ｆ（θ））」が成り立つよう「Q→Mのガロア群」の元ｆ’を対応させればよい。

　次にこの対応が演算の結果に保存されることを確認する。

　F₁・F₂とｆ’₁・ｆ’₂が対応していることを示すには、ｆ’₁（ｆ’₂（A（θ）））＝A（ｆ₁（ｆ₂（θ）））の成立を示せばよい。

　ｆ₁（A（θ））＝ｆ’₁（A（θ））にアーベルの既約定理を適用してθ→ｆ₂（θ）を施すと、　ｆ₁（A（f₂（θ）））＝ｆ’₁（A（f₂（θ））が得られる。A（ｆ₂（θ））＝ｆ₂（A（θ））より、ｆ’₁（ｆ’₂（A（θ）））＝A（ｆ₁（ｆ₂（θ）））が示された。　　　■

（定理25）

　ガロア拡大体Lに関する代数的拡大列をQ→M→Lとし、Mの固定群をHとする。このときM→Lのガロア群はHである。

証明）M、Lの原始元をそれぞれα、θとし、θのM上最小多項式をｆ（α　X）とする。このときM(θ)＝Lが成り立ち、θはM→Lの原始元でもある（※８参照）。

例によって、αのθ形式をα＝A（θ）とする。

定理20の証明でもみたように、θのQ上共役解θ’について、①「ｆ（α　θ’）＝０が成り立つこと」と②「A（θ）＝A（θ’）が成り立つこと」は同値である。①→②からＨ⊇「M→Lのガロア群」が、②→①からH⊆「M→Lのガロア群」が導かれ、あわせてH＝「M→Lのガロア群」が得られる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

§2.6　ガロア対応関連証明

（定理20）

ガロア拡大体Lとその中間体Mの拡大次数をそれぞれｌ、ｍとする。このとき、Mの固

定群の位数はｌ÷ｍになる。

　証明）M、Lの原始元をそれぞれα、θとする。このときM（θ）＝Lが成り立つ。

　また、αのQ上最小多項式をｆ（X）、θのM上最小多項式をｇ（α　X）とする。

　　αのQ上共役解を「α＝α₁　α₂　α₃…」として、以下の式をつくる。

　ｇ（α　X）ｇ（α₂　X）ｇ（α₃　X）…＝０…①

この①式は対称式の基本定理よりθを解にもつQ上の式である。次数の関係からこの式がθのQ上最小多項式であり、①式は重解をもたない。

さて、θのQ上共役解のうち、ｇ（α　ｘ）＝０の解となるものをθ’と表記することにする。

ｇ（A（θ）　θ）＝０にアーベルの既約定理を適用して、ｇ（A（θ’）　θ’）＝０と書き換えられる。ここでA（θ’）は「α＝α₁　α₂　α₃…」のいずれかであるが、上記の式のうちθ’を解にもつのはｇ（α　X）＝０のみである。したがってA（θ’）＝A（θ）が得られた。

次に、θのQ上共役解のうち、ｇ（α　ｘ）＝０の解でないものをθ”と表記することにする。

さきほどと同様にｇ（A（θ”）　θ”）＝０と変形すると、A(θ)≠A（θ”）が得られる。

あわせて、「A(θ)＝A(θ’)が成り立つこと」と「θ’がｇ（α　ｘ）＝０の解になること」が同値であることが示された。したがって「α＝A（θ）に不変に作用する置換の個数」と「ｇ（α　ｘ）＝０の次数」が一致する。

Mの固定群はαの固定部分群と一致するので、その位数はM→Lの拡大次数ｌ÷ｍである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

　（定理21）

　ガロア拡大体Lの拡大次数をｌとし、そのガロア群をGとする。Gの部分群Hの位数をｈとするとき、Hの固定体となる中間体Mの拡大次数はｌ÷ｈである。

証明）M、Lの原始元をα、θとし、θのM上最小多項式をｆ（α　ｘ）＝０とする。MはHの固定体なので、Hはα＝A（θ）に不変に作用する。

定理20の証明でみたように、「A（θ）＝A(θ’)が成り立つこと」と「θ’がｆ（α　X）

＝０の解であること」は同値である。Hの元を「e＝h₁　h₂　h₃…」とすれば、「h₁（θ）　h₂（θ）　h₃（θ）…」はいずれもf（α　X）＝０の解である。

次に「h₁（θ）　h₂（θ）　h₃（θ）…」を解にもつ以下の式をつくる。

（ｘ－ｈ₁（θ））（ｘ－ｈ₂（θ））（ｘ－ｈ₃（θ））…＝０…①

この①式の係数は「e＝ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」の基本対称式になってお

り、Hの作用で不変である（※58）。MにはHの作用で不変なすべての元が含まれているので、①式はθを解にもつM上の式である。

　アーベルの既約定理より、ｆ（α　X）＝０の解はいずれも①式の解となる。

あわせて、①式＝ｆ（α　x）が得られ、Hの位数とM→Lの拡大次数が一致することが

示された。次元の積公式（定理６）より、Mの拡大次数はｌ÷ｈである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

　§2.5　最小分解体関連証明

定理15～定理18、定理14の順に証明を述べる。

（定理15）

　有理数係数f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌはガロア拡大体である。

証明）　Lの原始元をθとする。その任意のQ上共役解θ’がLに含まれていることを示せばよい。

　ｆ（ｘ）＝０の解を「α₁　α₂　α₃…」とし、各解のθ形式を「A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…」とする。

また原始元θは（α₁　α₂　α₃…）形式で表記される。θを表記する（α₁　α₂　α₃…）形式を｛α₁　α₂　α₃…｝と表記することにする。

このとき、以下の等式が成り立つ。

　θ＝｛α₁　α₂　α₃…｝＝｛A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…}

このQ上の等式はアーベルの既約定理により以下のように書き換えられる。

　θ’＝｛A₁（θ’）　A₂（θ’）　A₃（θ’）…｝

ここで再びアーベルの既約定理を用いると「A₁（θ’）　A₂（θ’）　A₃（θ’）…」がいずれもｆ（ｘ）＝０の解であることが得られる。

したがってθ’はｆ（ｘ）＝０の解と有理数の式で表記できるのでLの元である。原始元θの任意のQ上共役解がLに含まれており、Lはガロア拡大体の十分条件をみたしている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理16）

 有理数係数n次方程式f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌのガロア群は、n次対称群の部分群と同型である。

　ただし対称群の演算については、ｆとｇの積をｆ・ｇ：（123…ｎ）→「（123…ｎ）にｆの置換を施した後、ｇの置換を施した結果」と定義する。

　証明）Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。

　定理15の証明のときと同様に、ｆ（ｘ）＝０の解を「α₁　α₂　α₃…」とし、θ＝{α₁　α₂　α₃…}＝{A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…}とする。

　Gの任意の元をgとする。このとき「A₁（ｇ（θ））　A₂（ｇ（θ））　A₃（ｇ（θ））…」はいずれも異なるｆ（X）＝０の解である（定理11証明参照）。したがってGの元の置換によって、解はシャッフルされることになる。

　次に、Gの元ｇ、ｈについてｇ≠ｈならば解のシャッフルのされ方が異なることを背理法を用いて確認する。

ｇとｈによる解のシャッフルが同一ならば、｛A₁（g(θ）)　A₂（g(θ)）　A₃（g（θ））…}＝{A₁（h（θ））　A₂（h（θ））　A₃（h（θ））…｝が成り立つ。

一方θ＝｛A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…}にアーベルの既約定理を適用してθ→g（θ）、θ→ｈ（θ）の置換を施すと、ｇ（θ）＝｛A₁（g(θ）)　A₂（g(θ)）　A₃（g（θ））…}、ｈ（θ）＝{A₁（h（θ））　A₂（h（θ））　A₃（h（θ））…}がそれぞれ得られる。

あわせて、ｇとｈによる解のシャッフルが同一であるときｇ（θ）＝ｈ（θ）、すなわちｇ＝ｈであることが示された。対偶にかえてｇ≠ｈならば解のシャッフルのされ方は異なる。

上記から、ガロア群の元とｎ次対称群の部分群の元に1対１の対応がつけられる。

たとえば、「A₁（ｇ（θ）　A₂（g（θ））　A₃（ｇ（θ））」＝「α₁　α₃　α₂」ならばｇと（123）→（132）を対応させることになる。

最後にこの1対１の対応が演算の結果に保存されることを示そう。

ガロア群Gの元ｇ、ｈに対して、これらと対応するｎ次対称群の元をｇ’、ｈ’とする。ｇ・ｈと、ｇ’・ｈ’が対応していることを示せばよい。

ｇ・ｈによりｆ（ｘ）＝０の解は「A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…」→「A₁（ｇ（θ））　A₂（ｇ（θ））　A₃（ｇ（θ））…」→「A₁（ｇ（ｈ（θ）））　A₂（ｇ（ｈ（θ）））　A₃（ｇ（ｈ（θ）））…」とシャッフルされる。したがってｇ’の置換が施された状態で、さらにｈ’の置換が施されることになる。対称群の演算の定義によりこの結果はｇ’・ｈ’の結果に一致する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

　（定理17）

有理数係数f（Ｘ）＝０が複素数θを解にもつとき、その複素共役θ’も解になる。

証明）複素数の計算については、次の①～③が成り立つ。

①    α・βとα’・β’は複素共役関係にある。式にすると（ａ＋ｂi）（c＋ｄi）と

（a－ｂi）（ｃ－ｄi）が複素共役関係ということになる。

②    実数ｃについてｃαとｃα’は複素共役関係にある。式にするとｃ（a＋ｂi）と

ｃ（a－ｂi）が複素共役関係ということになる。

③    α＋βとα’＋β’は複素共役関係にある。式にすると（ａ＋ｂi）＋（c＋ｄi）と

（a－ｂi）＋（ｃ－ｄi）が複素共役関係ということになる。

上記の①～③を用いて、ｆ（θ）＝０からｆ（θ’）＝０を導こう。①よりθのｎ乗とθ’のｎ乗が、②よりｆ（θ）とｆ（θ’）の各項が、③よりｆ（θ）とｆ（θ’）が、それぞれ複素共役関係にあることが得られる。

　０の複素共役は０なので、ｆ（θ’）＝０が示された。　　　　　　■

（定理18　コーシーの定理）

群Ｇの位数をnとし、その任意の素因数をpとする。このときGには位数pの元が含まれている。

証明）Gの元について、その積が単位元eとなるようなｐ個の元の選び方を数える。ただし同一の元を複数回選ぶことを認め、また選ぶ順序が異なるものは異なる選び方としてカウントするものとする。

　このとき（１）「選び方はｎの（ｐ－１）乗通りである」。ｎはｐの倍数なので、ｎの（p－１）乗はｐの倍数である。

　次にｐ個の元の選び方の中で、異なる複数の元を含む選び方を取り除いていく。（２）「異なる複数の元を含むような選び方は（ｐの倍数）通りである」。

　あわせて、単一の元をｐ乗して単位元eにする方法は、０通りもしくは「ｐの倍数」通りのいずれかであることが得られた。eのｐ乗がeであることから、このような選び方は０通りではありえない。したがってｐを位数とする元が、最少でもｐ－１個存在することになり、位数ｐの元の存在が示された。　　　　　　

なお、証明中の（１）、（２）については（※55）で補足している。　　　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　

（定理14）

　既約５次方程式f（ⅹ）＝０が実数解を3個もつとき、その最小分解体Ｌのガロア群Gは5次対称群S₅になる。

証明に用いる互換という用語については（※26）で述べている。また、（※56）では互換に関するいくつかの計算法則をまとめている。

証明）　証明の概要は以下のようになる。

→（１）「GにS₅の互換10個すべてが含まれていること」を示せばよい。

→（２）「Gに、5文字が２回ずつ出てくるような５個の互換が含まれていること」を示せばよい。

→（３）「Gに、１つの互換と位数５の元が含まれていること」を示せばよい。

　証明の変型過程について補足する。なお以下の説明は、「а　ｂ　ｃ　ｄ　ｅ」にあてはめる数字を問わず成立する。

→（１）（※57）で述べるように、S₅の任意の元は互換の積によって表記できる。したがって全10個の互換からGは生成される。

（１）→（２）互換については（аｂ）（ｂｃ）（аｂ）＝（аｃ）という等式変型が可能である。したがって（аｂ）、（ｂｃ）、（ｃｄ）、（ｄｅ）、（аｅ）という5個の互換から残る５個の互換も得られる。

（２）→（３）互換を（аｂ）、位数５の元をｇとする。このとき（аｂ）、ｇ（аｂ）ｇ⁻¹、ｇ（аｂ）ｇ⁻²、ｇ（аｂ）ｇ⁻³，ｇ（аｂ）ｇ⁻⁴が（２）の条件をみたす５個の互換となる。　　　　　　　　　　　　　　　　■

§2.4　ガロア群関連証明

定理11、13を証明する。

（定理11）

　ガロア拡大体Lの原始元θをその全Q上共役解に置き換える置換の集合をMとする。

Mの任意の２つの元をｇ：θ→ｇ（θ）、ｈ：θ→ｈ(θ)とするときｇ・ｈ：θ→ｇ（ｈ（θ））と定めると、Mは群の公理をみたし群になる。

　以下、θのＱ上最小多項式をｆ（ｘ）＝０とする。

　証明）群の公理①～④について順に確認していく。

　この集合が①「定められた演算で閉じている」ことについては、ｇ（ｈ（θ））がｆ（X）＝０の解であること、すなわちｆ｛（ｇ（ｈ（θ））｝＝０を示せばよい。

　ｆ（ｇ（θ））＝０にアーベルの既約定理を適用すると、ｆ｛ｇ（ｈ（θ））｝＝０が得られる。

　②「単位元の存在」については、恒等置換θ→θがその役割を果たす。

　次に③「逆元の存在」を確認する。ガロア群Gの元を「ｇ₁　ｇ₂　ｇ₃…」とし、θの任意のQ上共役解をθ’とする。θ→θ’の逆元の存在を示すには、θ∈「ｇ₁（θ’）　ｇ₂（θ’）　ｇ₃（θ’）…」を確認すればよい。

まず①の結果より「ｇ₁（θ’）　ｇ₂（θ’）　ｇ₃（θ’）…」はいずれもf（X）＝０の

解である。

　また、アーベルの既約定理（定理１）よりｇ（θ’）＝ｇ’（θ’）ならばｇ（θ）＝ｇ’（θ）、対偶にかえてｇ（θ）≠ｇ’（θ）ならばｇ（θ’）≠ｇ’（θ’）である。したがって、「ｇ₁（θ’）　ｇ₂（θ’）　ｇ₃（θ’）…」の中に同一の元は含まれない。この中にはｆ（ｘ）＝０の解すべてが含まれており、θ∈「ｇ₁（θ’）　ｇ₂（θ’）　ｇ₃（θ’）…」が得られた。

　θ＝ｇ（θ’）をみたすｇが、θ→θ’の逆元となる。

　なお、ｇ⁻1・ｇ＝eならば、ｇ・ｇ⁻¹＝eも成り立つことについては（※54）で確認している。　

　最後に④「結合法則をみたしている」ことについて述べる。

　ｆ・ｇ：θ→ｆ（ｇ（θ））である。ｆ（ｇ（θ））にさらにθ→ｈ（θ）の置換を施すと、ｆ（ｇ（ｈ（θ）））に変わる。したがって（ｆ・ｇ）・ｈ：θ→ｆ（ｇ（ｈ（θ）））である。

　またｇ・ｈ：θ→ｇ（ｈ（θ））である。ｆ（θ）にθ→ｇ（ｈ（θ））の置換を施すと、ｆ（ｇ（ｈ（θ）））に変わる。したがってｆ・（ｇ・ｈ）：θ→ｆ（ｇ（ｈ（θ）））である。

　あわせて（ｆ・ｇ）・ｈ＝ｆ・（ｇ・ｈ）が得られた。　　　　　　　　　■

（定理13）

ガロア群の構造は原始元の選び方によらず一意に定まる。

証明）ガロア拡大体Ｌの異なる原始元をθ、βとする。θ、βを原始元とみた際のガロア群をそれぞれＧ、Ｇ’としてＧとＧ’が同型であることを示そう。

βのθ形式をβ＝B（θ）とし、θのQ上共役解の集合を「θ＝θ₁　θ₂　θ₃…」

とする。ここで以下の①式をつくる。

　（X－B（θ））（X－B（θ₂））（X－B（θ₃））…＝０…①

対称式の基本定理より、①式はβを解にもつQ上多項式である。次数の比較から、この式がβのQ上最小多項式である。

　そこでGの元ｆ：θ→ｆ（θ）に対し、これと対応するG’の元ｆ’を「β→ｆ’（β）」＝「B（θ）→B（ｆ（θ））」が成り立つように選んでいく。これにより、GとG’の各元に１対1の対応がつく。

　次に、この1対１の対応が演算の結果に保存されることを確認する。ｆ・ｇとｆ’・ｇ’が対応していることを示すには、ｆ’（ｇ’（B（θ）））＝B（ｆ（ｇ（θ））を示せばよい。

　ｆ’（B（θ））＝B（ｆ（θ））にアーベルの既約定理を適用して、θ→ｇ（θ）を施すと

ｆ’（B（ｇ（θ）））＝B（ｆ（ｇ（θ）））。B（ｇ（θ））＝ｇ’（B（θ））より、求める等式が得られた。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

§2.3　ガロア拡大関連証明

定理７、定理９、定理８の順に証明を述べる。

（定理７）

Ｑ→Ｍ→Lを代数的拡大列とし、Ｌをガロア拡大体とする。このとき、Ｍ→Lもガロア拡大である。

証明）Lの任意の元をαとする。仮定によりαの全Q上共役解はLに含まれている。定理７を示すには、αの全M上共役解がLに含まれていることを示せばよい。式にすると「αの全Q上共役解」⊇「αの全M上共役解」…①が必要となる。

Q⊂Mより、αのQ上最小多項式は、M上の式でもある。アーベルの既約定理（定理１’）をM上で用いると①が得られる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理９　対称式の基本定理）

　任意の対称式は、基本対称式化可能である。

　ただし、基本対称式化とはｎ変数の対称式について、式中に含まれる文字をｎ変数の基本対称式にまとめる変形をさしている。

証明には対称式の変数・次数に関する二重帰納法を用いる。

　まず対称式の変数・次数の意味について説明する。

　対称式の変数とは、対称式に含まれる文字の個数をさしている。たとえばXYZの変数は３である。

　また、１つの項のすべての文字のべき指数の和を次数という。X²Y²Z²の次数は６である。

通常の多項式の場合と同様に、各項の次数の中で最大の数をその式の次数という。X²Y²Z²＋XYZの次数も６である。

一般にn変数の基本対称式はn個存在する。その次数は１からnまでの各数である。ｎ－1変数の基本対称式とn変数の基本対称式について、次数が等しいものを「対応している」と表現することにする。（※51）では、この対応関係について例示している。証明にはこの対応関係を用いることになる。

証明）まず、変数１の対称式は、次数を問わず基本対称式化されている。また次数１の対称式は変数を問わず、基本対称式化可能である。

次に「変数ｍ未満・次数ｎ以下の対称式が基本対称式化可能であること」と「変数ｍ以下・次数ｎ未満の対称式が基本対称式化可能であること」を仮定して、「変数ｍ・次数ｎの対称式が基本対称式化可能であること」を確認する。

変数ｍ・次数ｎの対称式ｆ（X Y Z…）について、以下の手順①～③で対称式ｇをつくる。このｇの作り方については、（※52）で実例を挙げている。

①    任意の文字の１つｒに０を代入し、変数ｍ－1の対称式ｆ’に変える。

②    帰納法の仮定を用いて、ｆ’を基本対称式化する。

③    式中のｍ－1変数の基本対称式について、ｒを加えてそれぞれを「対応する」ｍ変数の基本対称式に直し、得た式をｇとする。

ｇはその作り方より基本対称式化された式である。

またｆ、ｆ’、ｇの次数については、degｆ≧degｆ’＝deg　ｇ…①が成り立つ。degｆ’＝deg　ｇは対応する基本対称式の次数が等しいことによる。

さて、ｆとｇはｒに０を代入するとｆ’になるという共通点をもつ。したがってｆ－ｇのすべての項の因数にｒが含まれており、ｆ－ｇはｒで割り切ることができる。ｒは対称式に含まれる任意の文字なので、ｆ－ｇは基本対称式（XYZ…）で割り切れる。その商をｈとするとdegｈ<deg（ｆ－ｇ）≦degｆより、ｈの次数はｎ未満である。なお、deg（ｆ－ｇ）≦degｆのところで①を用いている。

ｆ－ｇ＝（XYZ…）ｈより、ｆ＝（XYZ…）ｈ＋ｇ。帰納法の仮定によりｈは基本対称式化可能であり、ｇが基本対称式化された式であることとあわせて、ｆが基本対称式化可能であることが示された（※53）。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理８　ガロア拡大体の十分条件）

代数的拡大体Ｌの原始元をθとする。θの全Q上共役解がＬに含まれているとき、Ｌはガロア拡大体である。

　証明）Lの任意の元をαとし、そのθ形式をα＝А（θ）とする。αの全Q上共役解がLに含まれていることを示せばよい。

　θのQ上共役解の集合を「θ＝θ₁　θ₂　θ₃…」とすると、仮定によりこの集合の元はすべてＬに含まれている。したがって「A（θ₁）　A（θ₂）　A（θ₃）…」∈Ｌである。

ここで以下の式を考える。

（Ｘ－Ａ（θ₁））（Ｘ－Ａ（θ₂））（Ｘ－Ａ（θ₃））…＝０…①

この①式は「θ₁　θ₂　θ₃…」に関する対称式になっているので、係数は「θ₁　θ₂　θ₃…」について基本対称式化可能である。したがって、①式はＡ（θ）を解にもつQ上の式である。アーベルの既約定理（定理１）より、αの全Ｑ上共役解は「A（θ₁）　A（θ₂）　A（θ₃）…」の中に含まれている。

あわせて、αの全Ｑ上共役解がＬに含まれていることが示された。　　　　■

定理３～定理６の順に証明を述べる。

（定理３）

　θ形式で表記できる数の集合は体になっており、Q（θ）とは同一の集合である。

　また、Q（θ）の元のθ形式による表記は一意に定まる。

　証明）まず、θ形式の集合が四則演算で閉じていることを確認する。以下、θのQ上最小多項式をｆ（X）＝０とする。

　θ形式2数の和・差がθ形式になることは明らか。

　θ形式2数の積ｈ（θ）は、次数がθ形式の定義からオーバーしている可能性がある。その場合、ｈ（X）をｆ（X）で割って、deg　ｆ（X）>deg 　ｈ’（X）をみたす余りｈ’（X）を求める。ｆ（θ）＝０よりｈ（θ）=ｈ’（θ）。したがってｈ’（θ）が2数の積に等しいθ形式である。

　最後にθ形式2数ｇ（θ）、ｈ（θ）について、ｇ（θ）÷ｈ（θ）の商となるθ形式が存在することを確認する。証明は以下のように変形できる。

→（１）「Yを未知数とする不定方程式ｇ（θ）=ｈ（θ）Yが解となるθ形式をもつこと」を示せばよい。

→（２）「１=ｈ（θ）Yが解となるθ形式をもつこと」を示せばよい。

→（３）「Y、Zを未知数とする不定方程式１=ｆ（θ）Z+ｈ（θ）Yが解となるθ形式をもつこと」を示せばよい。

→（４）「１=ｆ（X）Z+ｈ（X）Yが解となるQ上の式をもつこと」を示せばよい。

各変形が可能な理由は以下の通りである。

（１）→（２）　（２）の式の解にg（θ）をかけると、（１）の式の解になる。除法の原理を用いて次数を調整すれば、（１）の式の解となるθ形式が求まる。

（２）→（３）　f（θ）=０より。

（３）→（４）　（４）の式の解にθを代入すると（３）の式の解となる。次数が定義からオーバーしている場合は、やはり除法の原理を用いて調整すればよい。

（４）→　　　　h（θ）はθ形式という仮定より、deg　ｆ（X）>deg　h（X）が成り立ち、f（x）とh（x）は互いに素である。したがって定理２から（４）が導かれる。

以上で、θ形式2数の四則演算の結果に等しいθ形式が存在することが示された。

次に、Q（θ）と「θ形式で表記できる数の集合」が等しいことを確認する。

Q（θ）とは有理数とθの四則演算の結果になりうる数の集合をさしている。したがってQ（θ）⊇「θ形式で表記できる数の集合」は明らか。

有理数もθもθ形式のうちに含まれる。「θ形式で表記できる数」が四則演算で閉じていることから、Q(θ)の元はいずれもθ形式で表記できる。よって、Q（θ）⊆「θ形式で表記できる数の集合」が成り立つ。

あわせて、Q（θ）=「θ形式で表記できる数の集合」が得られた。

最後にQ（θ）の元のθ形式による表記が一意に定まることを確認する。

以下、背理法を用いる。ある元のθ形式による表記が2通り存在するとし、それらをｇ（θ）、ｈ（θ）とする。ｇ（θ）=ｈ（θ）より、θを解にもつ方程式ｇ（ｘ）－ｈ（ｘ）＝０が存在することになる。この式の右辺の次数はｆ（ｘ）を下回るので、θの最小多項式がｆ（ｘ）＝０であることと矛盾する。　　　　　　　　　　　　　　■

（定理４　原始元の存在）

代数的拡大体は単拡大体である。

証明）　以下、２回の代数的単拡大をへて構成された体が単拡大体であることを確認する。代数的単拡大が３回以上の場合に関する証明も、代数的単拡大が２回の場合に帰着する。

　2回の代数的拡大の原始元をα、βとする。またそれぞれの任意のQ上共役解をα’、β’と表記し、有理数qを（α－α’）÷（β－β’）の商と一致しない数とする。このような有理数は無数に存在する。

　このとき証明課題を以下のように変えていくことができる。

→（１）「Q（α　β）＝Q（α＋qβ）をみたす有理数qが存在すること」を示せばよい。

→（２）「α、β∈Q（α＋qβ）かつα＋qβ∈Q（α　β）」を示せばよい。

→（３）「β∈Q（α＋qβ）」を示せばよい。

→（４）「βのQ（α＋qβ）上最小多項式が１次式であること」を示せばよい。

→（５）「βのみを共通解とするQ（α＋qβ）上の２式が存在すること」を示せばよい。

　各変形の詳細は以下のとおりである。

（１）→（２）α、β∈Q（α＋qβ）からはQ（α＋qβ）⊇Q（α　β）が、α＋qβ∈Q（α　β）からはQ（α＋qβ）⊆Q（α　β）が得られ、あわせてQ（α＋qβ）＝Q（α　β）となる。　

（２）→（３）α＋qβ∈Q（α　β）は明らか。また、β∈Q（α＋qβ）ならば、α＝（α＋qβ）－qβより、α∈Q（α＋qβ）。

（３）→（４）１次式の解は、定数項の数と一致する。

（４）→（５）アーベルの既約定理（定理１’）による。

（５）→αのQ上最小多項式をｆ（X）、βのQ（α＋qβ）上最小多項式をｇ（α＋qβ　X）とする。ｆ（X）にX→（α＋qβ－qX）の置換を施しｆ（α＋qβ－qX）をつくる。ｇ（α＋qβ　X）、ｆ（α＋qβ－qX）はいずれもβを解にもつQ（α＋qβ）上の式である。また有理数qの選び方から２式はβ以外に共通解をもたない。したがって（５）が示された。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

上記の証明の変形については、（※49）でも補足を加えている。           ■

（定理５　拡大次数の一意性）

　原始元の選び方によらず、代数的拡大体Ｌの拡大次数は一意に定まる。

証明）代数的拡大体Ｌの異なる原始元をβ、θとして、βとθのＱ上最小多項式の次数が一致することを示そう。β、θのＱ上最小多項式の次数をそれぞれа、ｎとしてа＝ｎを導くことにする。

　以下、代数的数「α₁　α₂　α₃…」の各数に有理数をかけて足し合わせた式を{}を用いて{α₁　α₂　α₃…}と表記することにする。たとえば、{１　β　β²…βª⁻¹}は１＋ｑ₁β　＋ｑ₂β²…＋ｑa‐1βª⁻¹という形の式を意味している。

　定理３により{１　β　β²…βª⁻¹}、{１　θ　θ²…θⁿ⁻¹}はＬのすべての元を一意的に表記することができる。以下{１　θ　θ²…θⁿ⁻¹}から１以外の任意の元を取り除き、{１　β　β²…βª⁻¹}の元の1つβ’と取り換えても、Ｌのすべての元を一意的に表記できることを示そう。この操作をｎ－１回繰り返すと、Ｌのすべての元を一意的に表記できるｎ項の式{１　β’　β”…}が得られるが、βも原始元であることからａ＝ｎが導かれる。

　以下{１　θ　θ²…θⁿ⁻¹}からθを取り除いた場合について考えるが、取り除く元は「θ　θ²…θⁿ⁻¹」のいずれであっても構わない。まず{１　β’θ²　θ³…θⁿ⁻¹}がＬのすべての元を表記できることの証明の概要は以下のようになる。

→（１）「θが{１　β’θ²　θ³…θⁿ⁻¹}で表記できること」を示せばよい。

→（２）「β’を表記するθ形式のθの係数が０でないこと」を示せばよい。

→（３）{１　θ²　θ³…θⁿ⁻¹}によって表記されないβ’が存在すること」を示せばよい。

→（１）　Ｌのすべての元は{１　θ　θ²　θ³…θⁿ⁻¹}によって表記される。（１）がみたされていればこの式のθを{１　β’θ²　θ³…θⁿ⁻¹}に置き換える変形が可能である。したがってＬのすべての元が{１　β’θ²　θ³…θⁿ⁻¹}で表記できることになる。

（１）→（２）　（２）がみたされていれば、β’＝ｑ₀＋ｑ₁θ＋ｑ₂θ²＋…（ｑ₁≠０）と表記できる。この式をθについて整理すると、（１）の式が得られる。

（３）→　　　　背理法を用いる。「β　β²…βª⁻¹」の各数すべてが{１　θ²　θ³…　　　θⁿ⁻¹}で表記されたとする。θを表記するβ形式の各項「β　β²…　　　βª⁻¹」を{１　θ²　θ³…θⁿ⁻¹}に置き換えていくと、θを表記するθ形式――θとは見かけ上異なる――が得られる。これはθ形式による表記の一意性に矛盾する。

次に{１　β’θ²　θ³…θⁿ⁻¹}によるＬの元の表記が一意に定まることを確認する。

　背理法を用いる。{１　β’θ²　θ³…θⁿ⁻¹}によって2通りの表記をもつＬの元が存在すると仮定する。

　ここでこの２通りの表記について①β’の係数が等しい場合と②β’の係数が異なる場合について場合分けする。

まず①の場合、２式を引き算すると０を表記する{１　θ²　θ³…θⁿ⁻¹}が得られる。したがって０に関するθ形式の一意性から①は起こりえないことが導かれる。

次に②の場合、２式を引き算すると、β’の係数は０にならない。そこでこの式をβ’について整理すると、β’を表記する{１　θ²　θ³…θⁿ⁻¹}が得られるが、これはβ’の選び方に反する。β’の選び方から②も起こりえないことが導かれた。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理６　次元の積公式）

Q→M→Lを代数的拡大列とする。Q→Mの拡大次数をа、M→Lの拡大次数をｎとするとき、Q→Lの拡大次数はａｎである。

証明）代数的拡大列Q→M→Lにおいて、Q→M、M→Lの原始元をそれぞれα、βとする。また、αのQ上最小多項式、βのM上最小多項式の次数をそれぞれа、ｎとする。「１　　　α　α²　α³…αª⁻¹」「１　β　β²　β³…βⁿ⁻¹」の元を1個ずつ選び積をつくると、ａｈｎ個の積ができる。

（１）「これらａｎ個の数に有理数をかけて足し合わせたａｎ項の式によってＬのすべての元が一意的に表記されること」を示そう。定理５により、Ｌのすべての元を一意的に表記できる式の項数は一意に定まることが保証されている。したがって、（１）からＬの拡大次数がａｎ次であることが導かれる。

以下は、定理３の証明とまったく同様の流れをたどるので、概要のみのべることにする。

「１　β　β²　β³…βⁿ⁻¹」の各数にQ（α）の元をかけて足し合わせた式をQ（α）上のβ形式とよぶことにする。

このとき「Q（α）上のβ形式で表記できる数の集合」は四則演算について閉じており、体になっている（※50）。そのため、L＝「Q（α）上のβ形式で表記できる数の集合」が成り立つ。また、Q（α）の元のα形式による表記は一意に定まる。したがって、Lの各元はα形式上のβ形式によって一意的に表記される。この式を展開すると、（１）の条件をみたすаｎ項の式となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

§2.1　アーベルの既約定理証明

定理２、定理１の順に証明を述べる。

（定理２）

　f（x）、g(x)をQ上互いに素な２式とする。

　Ｙ、Ｚを未知数とする方程式f（x）Y＋g（ｘ）Ｚ＝1には、解となるQ上の式が存在する。

証明には多項式の割り算における除法の原理を用いる。この除法の原理については（※47）で解説している。

　証明）仮にｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数ならば証明は容易である。たとえば、ｇ（ｘ）を有理数аに置き換えたｆ（X）Y＋аZ＝１はY＝０、Z＝１／аという自明な解を持つ。

　以下、定理２の証明がｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数の場合に帰着することを示そう。

次数についてdeg ｆ（X）≧deg　ｇ（X）として一般性を失わない。

　ｆ（X）とｇ（X）は互いに素という仮定によりｆ（X）をｇ（X）で割ると余りがでる。除法の原理によりdeg ｇ（X）≧deg ｈ（X）をみたす余りｈ（X）が存在する。

　このとき、（１）「定理２を示すにはｈ（X）Ｙ＋ｇ（X）Ｚ ＝１の解となるＱ上の式が存在することを示せばよい」。ここで（２）「ｈ（X）とｇ（X）は再び互いに素になる」。したがってｇ（X）をｈ（X）で割って、さらに次数の低い余りを取り、ｇ（X）と置き換える操作が可能である。

　以下、同様に繰り返していくと、やがて余りは有理数になる。したがって、定理２の証明はｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数の場合に帰着した。　　　　

　なお、証明中の（１）、（２）については（※48）で補足を加えている。　　　　■

（定理１　アーベルの既約定理）

　θを代数的数とする。θを解にもつQ上方程式は、θの全Q上共役解を解にもつ。

証明）θのQ上最小多項式をｆ（X）とし、θを解にもつ任意のQ上方程式をｇ（X）とする。このときｆ（θ）＝０かつｇ（θ）＝０である。したがって不定方程式ｆ（X）Ｙ＋ｇ（X）Ｚ＝１の解となるQ上の式は存在しない。

定理２を対偶にかえると、ｆ（X）Ｙ＋ｇ（X）Z＝１が解をもたないとき、ｆ（X）とｇ（X）は互いに素でない。

あわせてｆ（X）とｇ（X）は互いに素でないことが得られる。仮定によりｆ（X）はQ上既約なので、ｇ（X）はｆ（X）で割り切れる。ｆ（X）＝０の解はいずれもｇ（X）＝０の解になることが示された。