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・量子物理学の大きな特徴（古典物理学との比較において）

　「演算子(\(Operator\))による物理量の表現」\(＆\)「実験結果に対する確率的予測」

・演算子(\(Operator\))による物理量の表現

　一次元の例では、例えば　座標変数 \(q\) とすれば、運動量 \(p= -i\frac{\partial }{\partial q}\)
　この例を運動量空間で表すと、逆に座標を微分演算子で表すことになる。

　この際に重要なのは、運動量と座標が、常に \( [ p,q ]= -i\) という正準量子化 (\(Canonical\; quatization\)) の関係を満たすこと。

・さらに一般的な量子化の規則

　注目している系の古典的なラグランジアンとその一般化運動量 \(p_{i}\) および一般化座標 \(q_{i}\) を探し、それらに対して



　という正準交換関係 (\(Canonical\; commutation\; relation\)) を設定すれば、その系を記述する量子論（の演算子）に到達する。

・実験結果に対する確率的予測

　運動量を微分演算子と見なす表示では、座標 （および時間）を変数とする波動関数 (\(Wave\;function\)) \(\psi ( q,t ) \) より行われる。
　その \(\psi ( q,t )\) が従う運動方程式（シュレディンガー方程式： \(Schrödinger\; equation\)）は、系の量子論的ハミルトニアン（古典的ハミルトニアン \(H( p,q )\) の中で、\(p\) を量子論的演算子 \(-i\partial /\partial q\) で置き換えたもの）を用いて

　

と与えられる。

・状態ベクトルと確率振幅

　量子系の状態は状態ベクトル (\(State\; vector\))で表すことが出来る。

　波動関数 \(\Psi ( q,t )\) で記述される系を考える。
　この系で、ある物理量 \(A\) の測定をして\(A_{n}\) を得られる確率振幅（\(Probability\; amplitude\)）は、波動関数の言葉では

　

である。（但し \(A\psi _{n} ( q )= A_{n}\psi _{n} ( q )\) ）

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\(A_{n}\) は演算子 \(A\) の固有値、\(\psi _{n}\left ( q \right )\) の固有関数であることと、それらが直交することを説明する必要がある。
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　この積分は連続無限個の成分 \(( q )\) を持つ二つのベクトル \(\psi\) と \(\Psi\) の内積と見なすことも出来る。

　

　ベクトルの成分は座標系に依存する。しかし、ベクトルそれ自体は座標系とは無関係。
　→ 量子論の場合も、ベクトルの成分（波動関数）よりもベクトルそのもので系を記述する方がより一般的。

・状態ベクトルでの表現

　 \(\Psi( q,t )\) を第 \(q\) 成分とするベクトルを　\(|\Psi ( t )\rangle\)　。
　左から掛る「波動関数の複素共役」に対応するベクトルを \(\langle \Psi( t )|\) と書く。

・確率振幅の状態ベクトル表現

　状態 \(\Psi\) の中に \(\psi _{n}\) を見出す上記の確率振幅も状態ベクトルを用いれば



と表すことができる。

・波動関数の状態ベクトル表現

　座標を変数とする波動関数 \(\Psi( q,t)\) は、状態（粒子）を座標 \(q\) において見出す確率振幅。
　→ \(|\Psi( t )\rangle\) と粒子が \(q\) にいる状態を表す \(|q\rangle\) の組み合わせ \(\langle q|\Psi ( t )\rangle\) ということになる：




・シュレディンガー方程式の状態ベクトル表現

　シュレディンガー方程式も状態ベクトルの時間変化（シュレディンガー描像）として



　と、表す方が、より一般的で応用範囲が広い。

・反応による状態の変化（遷移）の状態ベクトル表現

　量子力学では相互作用も一般的に演算子で与えられる。

　ex) \(|\psi _{1}\rangle\) という状態に \(V\) という相互作用が 働いた結果 \(|{\psi _{1}}'\rangle\) になったとすれば、

　

　したがって、\(V\) の作用により、\(|\psi _{1}\rangle\rightarrow |\psi _{2}\rangle\) という遷移が起こる確率は



で決まることになる。
　量子力学ではこの確率を求めるのが重要な課題の一つ。
　この点は場の量子論( \(Quantum\; field\; theory\)) に進んでも全く変わらない。

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どうも、確率振幅（\(Probability\; amplitude\)）という言葉の定義が曖昧ですね。上の記事では「確率振幅＝波動関数」のように読めます。ここにあるように、「古典的な (普通の) 波では振幅の 2 乗がエネルギー密度を与えるので、それにヒントを得て『2 乗 (の絶対値) が確率になるものが確率振幅』という言葉を持ち出した」ようなのです。それなら、「波動関数」のみで良いのでは？とも思います。まあ、漠然と「波動関数」というと古典的な波を示す場合もありますから、それもナンダカナーって気もしますね。。
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