ただの計算問題です。

東大は単なる計算問題を毎年１問出題するのです。

計算を侮ることなかれ。

ということで、復習がてら求めます。

東大理系数学　２０２１年第３問

<1>から

f(x)の導関数を求める。商関数の微分法を用いると,

f'(x) =  (x^2+3 - 2x^2)/(x^2+3)^2 = (3 - x^2)/(x^2+3)^2

ここで、ℓ : y = f'(1)(x-1)+f(1)だから、

x = 1をf(x),f'(x)に代入して,

f(1) = 1/4, f'(1) = 1/8.

これらをℓの式に代入して,

g(x) = 1/8(x-1) + 1/4 = x/8 + 1/8...(1)

今、ℓとCの共有点のｘ座標をβとおく.

αは、f(β) - g(β) = 0を満たすから,(1)とf(x)の式にx=βを代入して,

β/(β^2+3) - β/8 - 1/8 = 0..(2)

(2)の式の両辺に8(β^2+3)をかけてβで整理すると,

8β - β(β^2+3) - β^2 - 3 = 0 ⇔ β^3 + β^2 - 5β + 3 = 0..(3)

条件よりβ = 1のとき(3)を満たし(3)はβ-1を因数に持つから,

組み立て除法を用いて, (3)の式は以下のように因数分解できる.

(β-1)^2(β+3) = 0...(4)

∴共有点の座標はAと点(-3,g(-3))の二つだけであり, そのx座標は-3である。

<2>

f(x) - g(x) = x/(x^2+3) - (x+1)/8だから、

(2)の定積分の被積分関数をh(x)とおくと,

h(x) = (x/(x^2+3) - (x+1)/8)^2 = x^2/(x^2+3)^2 - 2x(x+1)/8(x^2+3) + (x+1)^2/16.

よって、定積分：∫[-3～1]h(x)dx = ∫[-3～1](x^2/(x^2+3)^2 - 2x(x+1)/8(x^2+3) + (x+1)^2/16)dx

= ∫[-3～1]x^2/(x^2+3)^2dx - 1/4∫[-3～1]x(x+1)/(x^2+3)dx + 1/16∫[-3～1](x+1)^2dx

あとでします。

大学が忙しかったもので。

今回は大好きな物理の復習をしたいと思います。

私の目標は、遺伝子の研究者ですが、

数学と物理も好きで、量子力学などの理論物理とリーマン予想などの純粋数学にも興味があります。

だから、大学の勉強の合間にベクトル解析だったり電磁気学だったり微分方程式論などを独学してます。

今回は、波動の復習をしようと思う。

波動については、大学受験以来勉強していないのでおぼろげながら思考しながらドップラー効果まで導き出そうと思う。

次回は、光の波動としての性質について語ろうと思う。

波動とは何か？

波動とは、空間的に波が伝わる現象っていう言い方をされますが、

(座標変換の公式)

X = xcost + ysint　(Xカップのセックスコスプレイヤーyさん)

Y = ycost - xsint　(イジワルな舞妓さんが引くほど、エロイセックスサイン)

x = Xcost - Ysint　

y = Xsint + Ycost

物理で、ベクトルを分解するときなどにつかう。

∫1/sint dt = log|(cost+1)/(cost-1)|/2 + C

∫1/cost dt = log|(sint-1)/(sint+1)|/2 + C

∫1/tant dt = log|sint| + C

https://www.youtube.com/watch?v=YF01xlIcprw&t=16s

三重県

https://www.youtube.com/watch?v=jzHBBkuLHH4&feature=youtu.be

移行先のurlは下記です。

https://mathematics-only.hatenablog.com/

なぜ移行するかというと、アメーバブログはJavaScriptを使うのが難しいこととLatexが導入されていないことです。

はてなブログはJSを使えること・Latexが導入されていること・ある程度人気があることなどから選びました。

その中でも数3は難しいと一般的には伝えられています。

その難しい数3の中で、最も難しいとされているのが微分積分の”積分”なのです。

数3の文部科学省検定教科書では、どの出版社のものでも積分が一番最後に割り当てられていることが多いです。

というのは、積分は指数関数・対数関数・三角関数・数列・二次曲線と方程式・逆関数・合成関数・極限・微分などの数学の分野を多岐にわたって利用するからです。

まあ、前置きはこれぐらいにして思いついたことを書いていく。

実教出版の新版数学3、一対一対応の演習：微分積分編を持っているが、

面積の定義についての言及がないように見受けられる。

後者では、間接的にx軸と関数f(x)とx=aとx=bで囲まれた図形の面積Sは、

大学ではS = lim(n→∞) ⊿xΣf(a + k⊿x)と定義すると記述されてはいる。

まあこれで十分なわけだけれども、直感的な説明がない。

つまり、無限小の面積とは直線でもなければ、点の集まりでもなく、

縦と横の大きさを持った図形の領域としてしか定義することができない（と僕は思っている）。

つまり、面積、直線、点、体積は次元が異なるということを説明してほしかった。

というのは、無限小の面積って形でいえばほとんど直線であって、なんだ面積って直線の集まりなのかなどという発想をしてしまうからだ。

三次元の図形の体積にいたっても、平面で切り取った図形の面積の総和などという発想をしてしまうからだ。

正しくは以下の通り。

なお教科書や参考書では、微分を用いた求め方が記述されている場合が多いが、

ここでは微小な体積を用いた求め方を説明する。※こっちのほうが簡単なはず。

ある三次元図形Dをx=tを通るx軸に垂直な平面α(t)で切り取る。

このとき切り取った図形の面積をS(t)とするとき、

x=tからx=t + ⊿hまでの三次元図形Dの部分の体積は、

⊿h・S(t)で近似できる。

よって⊿h = (b-a)/nとし、区分求積法の要領で、

平面α(b)と平面α(a)で挟まれた図形Dの部分の体積Vは、

V = lim(n→∞) ⊿hΣS(a + k⊿h) で求めることができる。ただしb > aとする。

よって、V = ∫[a～b] S(t) dt　※　lim(n→∞) ⊿xΣf(a + k⊿x) = ∫[a～b] f(x) dxという定理を利用した。

あとは、三次元図形Dの左端のx座標をa,右端のx座標をbとすれば、

Vは三次元図形の体積に一致する。

最期に、線の長さL・面積S・体積Vの定義を書いておく。

L = lim(n→∞) Σ√{ (⊿x)^2 + ( f(a + k⊿x) - f(a + k⊿x - ⊿x) )^2 }

S = lim(n→∞) ⊿xΣf(a + k⊿x)

V = lim(n→∞) ⊿xΣS(a + k⊿x)

Σの部分をnの多項式で表すことができれば、上記の定義を用いてL,S,Vを求めることができるが、

実際はそれぞれに同値な積分で求めることがほとんど。

つまり、

L = ∫[a～b] √{ 1 + (df(x)/dx)^2 } dx

S = ∫[a～b] f(x) dx

V = ∫[a～b] S(x) dx