今回は2016一橋の大問5［ⅰ］です！

一橋なので文系数学ですが、今回は思いっきり数3の範囲のものを使って解きます。（商の微分法、極限）

一橋には理系数学を使うと楽に考えられる問題が多いです。数弱の方には是非取得して欲しいです。

  ​問題紹介

今回は整数では無いです！

  ​解説するよ！！！

初動​

ベクトルで絶対値があったら2乗せよみたいな法則ありませんでしたっけ。。

角度もわかってるので内積もどうって事ないですよね。

​2乗せよ

（この画像作るの死ぬほど大変だった笑）

問題はここからですね！！

①は2変数同次分数です。変数が2つあって、次数が分子と分母で同じですよね。

こーゆうときは分子分母を最高次の文字で割ります。（文系ではあまり見ないですね）

a²で割ってb/a＝xと置く。（b²でもいいです）は覚えるだけです。そーゆうやり方で変数を1つにします。（xの範囲に注意です。元々絶対値があるので負の値はとりません。）

商の微分法を使って増減を調べます。（商の微分法については最後にやります）

極限では同次分数の時は分母分子を最高次の文字で割ります。さっきもやりましたね。

分母が大きくなると分数全体は小さくなります。

xが無限に大きくなるとき、1/x²とかは0に限りなくちかくなるので4個の分数が0になり4と1だけが残ります。

漸近線は限りなく近づくけどくっつくことは無い線です。

答えは 1/2＜r＜2でした。

  まとめ

お疲れ様でした！！！

分数関数の範囲を求める時は≦ではなく＜です。2021にも似たような問題があるので次はそちらをやります。

ここまで閲覧ありがとうございました。

一応f(x)のx＞0でのグラフはこんな感じです。

商の微分法のやり方は

これですね。是非覚えてください。

工夫して相加相乗平均を使わなきゃいけない問題も脳死で微分すればいいので、心強い道具が1つ増えます！！

一橋とかでの理系数学ってほんとに心強い味方なので数弱方こそ取得して欲しいです。

（ちなみにこれは選択問題で［ⅱ］は統計のやつなのでそっち解いてもいいと思います笑）

ではまた今度(*ˊᵕˋ*)੭ 

今回は2016年の東北大理系大問2です。

  ​問題紹介(1)

これは前座です。これは飛ばしていいですか。。数学的帰納法でって書いてあるし。『2016一橋前期大問1 世界一わかりやすい一橋大数学解説』数弱による数弱向けの数学解説です。今回は2016年の一橋大前期の大問1をやってみます！！！  ​問題紹介  解説するよ！！！！​​初動解く前にまずこっちを見て…ameblo.jp

ここらへんと繋がってる問題なのでぜひ一緒にどうぞ☺️一橋のは数が大きいだけです。

（一橋では数学的帰納法ではなく極限を使ってますが、その解法は知恵袋で教わりました）

  ​問題紹介(2)

さっきとは一転！むずそ〜〜〜

  ​解説するよ！！！

​初動

素数と指数が絡む整数問題です。実験したり合同式使ったり、、ですね。(1)のヒントがあるのでp＝2にして実験してから合同式を使って方針を決めましょう！

実験​

答えが1つ分かりました。次は合同式です。

​合同式(mod2)では？

p^qとq^pは偶奇が一致しないらしいです。

偶数の中で有りうるのは2のみですよね。

つまりp＝2、q＝2で場合分けをして考えればいいわけですね！方針が決まりました！

（p＝2は実験で既にやりましたので、q＝2です）

​q＝2のとき。

指数関数と二次関数の等式ですが、

増加の仕方は指数関数の方が大きいです。

（超お腹減ってるのにいきなりおなかいっぱいになるのが指数関数、徐々におなかいっぱいになるのが二次関数？笑）

なのでpを無限に大きくした時、指数関数＞二次関数で固定されることが予見できます。

問題はpがどの値の時に固定され始めるかです。

この問題はpの最小値である3から指数関数＞二次関数になってるので等号は成り立たないってことがわかります。

（あとはこれを証明して終わり！）

​証明！！！！！

極限ですが、数学的帰納法でもいいですよ。てかそっちが普通？

​結局は、、

答えは(p,q)(2,5)のみですね。

  ​まとめ

どうでした？全て求めよなのに一つだけです。。

この年は京大でも似たような問題が出たとか。

ここまで閲覧ありがとうございます！！気が向いたら別の問題もやります！！

今回は2016年の一橋大前期の大問1をやってみます！！！

  ​問題紹介

  解説するよ！！！！​

​初動

解く前にまずこっちを見て欲しいですね。

『2015九大前期理系大問5 世界一わかりやすい九州大数学解説』最初に断っておきます！！！！圧倒的数弱向けの解説です！！数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと…ameblo.jp

見れば分かりますが、これの後半（q＝3のとき）と同じですよね、、、グラフで考えればいいわけです。変数が1つですもん。

​ではどうする？ 

指数関数は底（aⁿのaの部分）が大きいほど増加の仕方も激しくなります。ってことは？xを無限大に大きくした時、与式は左辺＞右辺になることがわかります。

問題はxがなんの値の時から左辺＞右辺で固定されるか ですね。これを調べるには代入しかありません。方針が決まりましたね。（流れは九大と同じです）

​やっていこう！！

んー。トンデモナイ数字ですね笑

表からx≧3では右辺＞左辺が成り立つことが予想できますね。

底が大きい右辺の増加の割合は左辺の増加の割合より激しいのでもう逆転することはありません。x＝0、2が答えですね。そして、x≧3では解なし、これを証明して終わりです。

​証明！！！

極限です。数学的帰納法は参考書に書いてあるのと、画像作るのがキツイので辞めます笑

h(x)＝0になるときが答えです。

xを無限に大きくしてみるとy＝h(x)は無限に大きくなります。

xが大きくなると、y＝h(x)は大きくなる、、。

x≧3のとき、最小値はy＝h(3)の時ですね。でも、その時ですらh(x)＞0です。ならばx≧3ではh(x)＝0にはならないですよねってことです。

今回の2016一橋、2015九大以外に2016年の東北大理系大問2も同じ考え方の問題です。旧帝一橋受ける方は是非出来るようになってくださいね。

数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと思います！！

今回は九州大学の2015年の整数問題です！

（今回は綺麗な解き方じゃないです、、、長くなるかもだから頑張ってください笑）

  問題紹介​

素数、指数、、、、、数弱からしたらマジで嫌ですね〜。

  ​解説するよ！！！

​初動

素数の問題は 実験したり合同式使ったりです。実験は、んー( ⍨ ) って感じなので

いつも通り合同式がいいと思います。困ったら合同式みたいな。笑

合同式(mod2)だと、？

pq²は奇数でした。pとqは3以上の素数なのでそれぞれ奇数ですね。ってことはp−1は偶数です。

​合同式(mod3)だと、？

pq²は3の倍数でした。pとqは素数なのでpまたはqが3ですね。3の倍数で3以外に素数はありませんので。

場合分けしましょう。

​p＝3のとき。

ダメでした。

​q＝3のとき。

ここからがめんどくさいんですが、割と使う考え方なので知っておいてください。

f(p)＝9pとg(p)＝2^(p−1)-1のグラフをイメージしましょう！！！2つの関数の増加の仕方がイメージ出来ればいいです。変数が1つのときはグラフをイメージしてみるのも手です。

（表はpに素数以外の数も入れてました。。。本当は素数じゃない1,4,6,8はいりませんね。）

​グラフは、、

p＝xとして見てみると、、、

になります。

第1象限（x≧0)には1つしか交点が無いって想像できますか？

表と合わせて、p≧8では常にy＝g(p)の値が上になります。証明は極限とか数学的帰納法で出来ます。数学的帰納法はつまらない（てか記述の量的に画像作れない）ので極限でやります。

​証明！！！！！

y＝h(p)＝0のときのpを求めたいのです。

そこでp≧8のとき、h(p)＝0にはならないよの証明です。

h(p)のpを無限に大きくしたらh(p)の値は無限に大きくなりますよね。（わからんかったら、p＝9、10･･･を代入してh(p)がドンドンおっきくなるのを確認してみて！）

h(8)＝55で、y＝h(p)は増加するだけなのでp≧8では常にh(p)＞0→h(p)＝0になりません。→解はありません。

​結局は、、

以上から答えは(p,q)(7,3)になります。

  まとめ

 q＝3のときのグラフとか極限がめんどくさかったですかね？

指数関数と一次関数、二次関数の交点を求めるのは無理です。ってことは小さい数から代入していけばわかるような数が答えになります。

今回はp＝7っていう絶妙な位置に答えがありましたよね。一橋でも似たような問題出てるので知っておくと良いかもしれません！

ちなみにその一橋のやつです。『2016一橋前期大問1 世界一わかりやすい一橋大数学解説』数弱による数弱向けの数学解説です。今回は2016年の一橋大前期の大問1をやってみます！！！  ​問題紹介  解説するよ！！！！​​初動解く前にまずこっちを見て…ameblo.jp

ここまで閲覧ありがとうございました！気が向いたら別の問題もやります！

合同式の活用といえば、不定方程式の整数解を求める問題です。共通テストで出題されたので早速実践してみましょう。（私は実際に本番この解き方でやりました）

  ​問題紹介(1)

5⁴＝625っていう事は問題文に書いてくれました。

訂正:''正の''整数です。

  ​解説？？？？

法を2⁴＝16として合同式で作ってみます

625＝16×39＋1なので、法を16として1と合同です。

kを整数としてx＝16k＋1と表せました。k＝0の時、xは正の整数の中で最小になるので、そのときx＝1(ア)です。

あとは与式に代入してy＝39(イ,ウ)になります。

  ​問題紹介(1)

  ​解説？？？？

さっき求めた通り、x＝16k＋1なので、2桁で最小なのは

k＝1のとき、x＝17(エ,オ)ですね。

代入すると625×17-1＝16yとかいうめんどくさい計算をしなきゃいけません。。笑

10624＝16y

10624＝16×664なので、y＝664(カ,キ,ク)です。

(ケ)、(コ)は関係ないので飛ばします。ざっと解説すると

ア、イを活用するらしいので、(1)に戻って変形します。

625＝2⁴×39＋1です。問題文通り、39＝mにして

625²＝(2⁴m＋1)²を計算すればいいだけです。

8(ケ）、5(コ)ってすぐ分かりますね。

  ​問題紹介(3)

5⁵＝3125です。

  ​解説？？？？

(1)と同じようにやります。

なぜ3を掛けるのか？

21の倍数の中で、32の倍数と差が1のものを探します。21×3＝63、32×2＝64ですよね。なので両辺に3を掛けます。

x＝125(サ,シ,ス)ですね。

125×3125-1＝32yです。。。

（390624＝32y →32×12207＝32y）

→y＝12207(セ,ソ,タ,チ,ツ)

  ​解説？？？？

11⁵＝161051、2⁵＝32ですね。

この時点で計算量が、、、。

13掛けるのがめんどくさいです。

27の倍数と32の倍数で差が1のやつを見つけますが、

27×13＝351、32×11＝352ですので、差が1ですね。

nを整数として、x＝32n－13と表せます。

正の整数でxが最小になるのはn＝1のとき。

従ってx＝19(テ,ト)です。

​yは、、

8×（なんとか）、8×4×（なんとか）って変形してくのはもう大丈夫だと思います。

y＝95624（ナ,ニ,ヌ,ネ,ノ)ですね。

来年に期待しましょう(白目)

ありがとうございました！！

数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと思います！！

今回も整数です！！北海道大学の後期入試の問題です。

  ​問題紹介

本当は誘導がありますが、練習がてら無しで考えてみます。

  ​解説するよ！！！！！

​初動

いつも通り積の形にしたいです。k²を左辺に移項すれば、、、って思ったんですが、なんかうまく行きません。n乗のせいです。nが偶数なら上手く行きますね。

初手、定石が上手く行かないのでとりあえず合同式でも使ったらなにか情報が得られるかもしれません。その上でnが偶数って証明出来ればもう簡単です。

（小さい数の式なら代入して実験してみるのもありです。）

 なぜ合同式が出てきたかはコチラを参照してください。『世界一わかりやすい一橋数学解説　2022大問1』最初に断っておきます！！！！圧倒的数弱向けの解説です！！数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと…ameblo.jp

​合同式(mod2)だと、、？

ってことが分かりました。けどまあ別にって感じです。その気になれば(−1)ⁿ≡1(mod2)とかやってnは偶数って出来ちゃいますね。

mod3では大した情報が得られるわけではないので飛ばします笑

​合同式(mod4)だと、、？

指数の偶奇を判定したい時は底を−1になるようにするといいですよ！

そしてnが偶数だと分かればもう解説の必要は無いと思います笑

​積の形にする！

n＝2m (m∈ Z)で表しちゃいましょう。

こっから先は普通の整数問題です。

kは奇数なので5・3^m-kも5・3^m＋kも偶数になります。奇数-奇数＝偶数（5-1＝4）、奇数＋奇数＝偶数（7＋5＝12）です。なので16×11は登場しませんでした。

​1個ずつ検証！

似たような式が2つあるので足し算引き算しましょう！kを消せるので足し算でいいですね。

他のやつも同じように検証してくと4×44の時は成り立たず、8×22のときは(n,k)(2,7)になります。

最後まで見てくれてありがとうございました！！気が向いたら別の問題もやります( ¨ )

数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと思います！！

数強の方からすると1＋1の解説を永遠とやってるようなものだと思うので、まあ、うん。。笑

今回は私が思う指数が主役の整数問題の定石編です！

定石通り行かないやつはこっち😚

『世界一わかりやすい一橋数学解説　2022大問1』最初に断っておきます！！！！圧倒的数弱向けの解説です！！数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと…ameblo.jp

​

  問題紹介

  解説するよ！！！！！

初動

初動が大事ですけど、整数問題は積の形にするのがいいってよく聞きますよね。一橋レベルじゃなくてもこれは常識です。積の形にしたいなぁって考えながら、指数を見ると4乗、2乗でキリがいい（？）数字なのでb²を左辺に移項しちゃえば簡単に因数分解できて積の形にできちゃいます。（誰でも気づけますね！？！？

積の形にしてから、、、、。

kを整数として、2^kと2^(c−k)って置きます。実際その2つを掛け算してみると2^cになりますからね。ここが大事！！！

a²＋bとa²-bなら、当然ですがa²-bの方が小さいです。小さい方をkって置くと小さい方で括る時楽です。逆でも結果は変わりませんが、画像作るのが大変なんだ、、、、。

あとは指数の大小関係も同じです。つまりk≦c−k

あとは似たような式が2つあるのでとりあえず足し算引き算しましょう！

足し算すると左辺は2a²、引き算すると2bです。2bは指数が無くて楽そうですが、aには奇数って縛りがあるので、足し算からしましょう！問題文はヒントです。

指数が小さい方でくくります。

k−1＝0になります。なぜ？？？

aは奇数ですが、奇数は2乗しても奇数です。3²＝9、7²＝49

つまりa²は2を素因数に持たないので2ⁿ＝1になればいいです。その時のnは0ですね。

1っていう万能な数字と2乗があります。また因数分解出来そうですね。

察しが付いたと思うんですが、さっきと似たようなことをもっかいやってcを求めます。

​2回戦！？！？

左辺が1なのが嬉しいですね！指数の計算でc−4＝1→c＝5です。②に代入してa²＝9→a＝3、あとは問題文にでも代入してb＝7が分かります。

よって

(a,b,c)(3,7,5)が答えです！

数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと思います！！

  問題紹介

（文字大きい？？？ 初めてだから許してください。笑 

ちなみに私はこの問題を解いて一橋に落ちました。英語の特に英作文とリスニングが終わってました。）

  解説するよ！！！！！

初動

定石通りには行きませんよね。

ちなみに指数が主役の整数問題の（恐らく）定石はコチラჱ̒^._.^）

『世界一わかりやすい一橋数学解説 2018後期大問1』最初に断っておきます！！！！圧倒的数弱向けの解説です！！数学無理だし他のサイトの解説は自分の頭では、、、、て方に向けて世界一の分かりやすさをめざして書きたいと…ameblo.jp

方針が思い付かない不定方程式は

・合同式（mod2、3、、、）を使ってみたり

・小さい数で実験してみます。が、小さい数で実験できるような問題じゃないので合同式を使ってみたら何か情報が得られるかも、、、、、？

って考えてください！

（画像作るのめんどくさいからA＝与式って置きます笑）

ですよね。aとbをcとdに入れ替えても同じです。

つまりA≡0or1＋0or1≡0 (mod2)     ってなりませんか！？！ {2022≡0 (mod2)

これが成り立つのはA≡0＋0≡0 (mod2) またはA≡1＋1≡0 (mod2)のとき！

2で割って余り0→偶数、余り1→奇数なので、偶奇が一致してないとダメってわかります‼️

 ここまできたら、奇数、偶数で場合分けをするっていうこの問題の大筋が掴めます。

めんどくさい場合分けと力技

a,cが0かつb,dが1以上（→奇数の場合）のとき

こっちの方が簡単だから先にやるヨ

このとき、

結果不適切でした。成り立たせる数字が存在しません。2文字しかないしただの足し算だしここまで来たら列挙するが楽です。（私はね。多分数弱のみんなもアレコレ考えるより、、、笑）

a,cが1以上かつb,dは任意（→偶数の場合）のとき

a−1かc−1が0になるのは、偶数＋偶数＝奇数にはならないからです。2＋4＝6ですね

奇数＋偶数＝奇数になるから、どっちかは奇数です。1＋4＝5ですね。奇数ってことは2の指数は0です。

a−1とc−1、bとdはそれぞれ入れ替えても同じ式になります。対称式なのでとりあえずa−1＝0→a＝1にします。...①

ここから先は ''めんどくさい力技''です。。他にいいやり方合ったら教えてください。笑

（私は本番ではマジで列挙しましたよ！！！時間はかかりましたが、大問2、3が鬼簡単だったのでプラマイ0みたいな感じです。落ちたけど）

文字にすんのめんどくさいから画像です笑

1の位だけに注目して成り立つか見てくと

3^5＝243と2^8×3＝768のときのみ、足すと1011になります。。

よって、この時b＝5、c−1＝8→c＝9、d＝1がわかるので

(a,b,c,d)(1,5,9,1)です。

①ではa−1＝0にしました。なので

c−1＝0→c＝1にしたらどうなりますか？さっき言ったようにaとc、bとdがそれぞれ入れ替わります。

なので、対称性より(a,b,c,d)(9,1,1,5)も答えです。

以上から(a,b,c,d)(1,5,9,1)(9,1,1,5)ですᐠ( ᑒ )ᐟ

 めんどくさかった。

めんどくさかったですね。列挙っていうところに勇気が必要ですね。次の問題が簡単かどうかも結果的に簡単だったからプラマイゼロだったわけで、次の問題も似た難易度なら、ヤバいわよ！

私はあくまで文系人間なので理系、数学科の方のような解説は書けません。すいません。

気が向いたら別の問題もやる？かもしれないです。