SKのブログ https://ameblo.jp/takachi-265646/ 数学の話が多めですが、基本は雑記です。考え事や日常の出来事を、たまに数学の話に寄り道しながら書いています。静かに続けていく予定です。 ja 自作問シリーズ⑩・①〜⑨総まとめ 今日はこれまで出した 数学の問題をまとめて振り返る回です。

「最近このブログ読み始めたよ」という人も  

「全部見てるよ」という人も  


よかったらゆるく眺めていってください。


これまで出した数学の問題まとめ（全9問）



第1問

https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12950014706.html



第2問




第3問




 第4問





第5問




 第6問




第7問




第8問




第9問




まとめ


問題って、

作ってるときは必死なんですけど、


あとから見返すと

「よくこんなの作ったな」  

「何考えてたんだ自分」  


みたいな気持ちになります。

でも、


解いてくれたり  

眺めてくれたり  

いいねを押してくれたり  


それだけでだいぶ救われてます。


今回はまとめ記事でしたが、

また新しい問題も作っていきます。


気が向いたときに、好きな問題だけでも

つまみ食いしてもらえたら嬉しいです。

]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12952175171.html Sat, 03 Jan 2026 09:50:53 +0900 自作問シリーズ⑨・五角形 最近、夜に散歩するのがちょっと好きです。

運動しようとしてるわけでもなくて、
健康を意識してるわけでもなくて、
ただ家の外の空気を吸いたいだけなんです。

コンビニの明かりが妙に眩しかったり、
誰もいない公園のベンチにやけに安心したり、
マンションの窓に灯りがついているだけで
「この四角一つ一つに生活があるんだよな」なんて
ちょっと柄にもなく考えてみたりする。

帰ってきたらもう忘れてるんですけどね。

でも「今日はなんか疲れたな」という日の、
夜の空気って少し優しい気がします。

というどうでもいい前置きは置いておいて、今日の問題です。


【問題】

凸五角形 ABCDE は反時計回りに A, B, C, D, E とし、

∠ACE = ∠ADE = 75° とする。

BE と AC の交点を P、
BE と AD の交点を Q、
CE と AD の交点を R とする。

三角形 ABC と三角形 EPC は相似であり、

BC < AB < AC、PC < PE < CE が成り立ち、
さらに BC + CE = 10 である。

三角形 ABC と三角形 ARE の面積の和が

　25 + (25√3)/2

であるとき、

三角形 ACR の面積を求めよ。

※解答には中学校で学習する内容
（相似、三平方の定理、一次関数、面積の考え方など）のみを用いること。三角関数、ベクトル、回転行列などの高校数学以上の内容は使用しないこと。

ただし、二重根号の外し方については、
次のような計算に限り使用してよいものとする。
　
　例：
　√(a + 2√b) = √m + √n
　（ただし m + n = a，mn = b）


解答の流れ（軽く・ざっくり）

詳しい途中計算は省略して、雰囲気だけ書きます。

まず角の条件から、

・いろいろな角が 75° を中心に登場  
・円周角の定理の逆が使える形になる  

ことに気づくと、

 5点 A, B, C, D, E が同じ円周上に並ぶ

という事実が出てきます。

そこから角を追いかけていくと、

・∠ACR の外角  
・∠ARE まわり  

が整理されていき、

AD と CE が直交している（直角で交わる）

ところまで辿り着きます。

すると三角形がいくつも直角三角形になり、

・面積の和  
・長さの和 BC + CE = 10  

を組み合わせて式が作れるようになります。

最後は

・15°を含む直角三角形の比  
・整理した面積式  

を使って整理すると、

CR = 5 が出てきて、

そこから △ACR の面積が

25 + (25√3)/2

と求まります。

（計算そのものより「関係に気づくこと」の方がメインの問題でした）


【答え】

　25 + (25√3)/2


まとめとか、ちょっとした雑談

五角形って、図にした瞬間ちょっと身構えません？

四角形まではまだ安心感があって、
三角形はもうホームグラウンドなんですけど、

五角形あたりから急に

「え、どこ見ればいいんだっけ…？」

みたいな気持ちになります。

でも実際やってみると、

・円が出てきたり  
・直角が出てきたり  
・相似が勝手に並んだり  

気づいたら三角形の世界に戻ってきていて、

「あ、結局三角形が全部やってくれるんだな」

ってなるのが面白いところです。

問題が解けた人はもちろん、
途中で眺めるだけになった人も、
図だけ見て閉じた人も、

それぞれ正解だと思ってます。

読んでくれてありがとうございました。
また面白そうなの見つかったら（作れたら）載せます。
]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12952173177.html Sat, 03 Jan 2026 09:35:47 +0900 数学×手品シリーズ① 今日はちょっとした数学×手品みたいな動画を撮ってみました。




動画の中では、
・「1/n」と書かれたコイン
・手のひらには「lim  n→∞」

が登場します。

そして、その手のひらでコインを握ると──
コインはスッ…と消えてしまいます。


もちろん実際に物体として消滅しているわけではありません。
でも、数学の世界では「値が消える」という言い方をしたくなる瞬間があります。

それが

1/n という数列の極限

です。

n が 1, 2, 3, 4, … とどんどん大きくなるにつれて、

1/1 = 1
1/2 = 1/2
1/10 = 0.1
1/100 = 0.01
1/1000 = 0.001

というように、値はどんどん小さくなっていきます。

そして数学ではこう考えます。

n を「無限大まで大きくしていったとき」
1/n は 0 に「限りなく近づいていく」

この「近づいていく先」のことを 極限値（limit） と呼びます。

だから

lim n→∞ 1/n = 0

と書きます。

ここでポイントなのは、
・0に“なる”と言い切っているわけではない
・でも限界まで近づききっている
・だから「極限は0になる」と言う

という、ちょっと不思議な立場です。

今回の動画では、

「極限に持っていくと、1/nは“見えなくなる”くらい小さくなる」

というイメージを
コインが消える演出で表現してみました。

数が0になるというより、

0に吸い込まれる
0に溶けていく
0と区別できないくらい小さくなる

そんな感覚に近いかもしれません。

数学って、式や記号だけで見ると固く見えるけれど、
イメージで捉えると急に面白くなります。


まとめ
•1/n は n が大きくなるほど小さくなる
•無限大までいくと極限は 0
•コインが消えるのは「消滅」ではなく「極限のイメージ」

動画のコインが消える瞬間、
「極限ってこういうことか」と少しでも感じてもらえたら嬉しいです。

]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12951882239.html Thu, 01 Jan 2026 16:00:11 +0900 自作問シリーズ⑧・連続する整数の和 最近、スマホの写真フォルダを整理しようとして、完全に失敗しました。
消そうと思って開いたのに、結局ほとんど何も消していない。

理由は単純で、
「これ、今はいらないけど、後で必要になるかもしれない」と思い始めると、全部そう見えてくるからです。

・もう見返さない気もする
・でも撮った当時は何か理由があったはず
・これ消したら後悔するかもしれない
・そもそも容量、そんなに困ってない

こうして、判断材料が増えるほど、結論は出なくなる。

結局、数枚だけ消して満足した気になり、
フォルダの中身はほぼ変わらないままです。

今日は、そんな「条件を増やすほど選べなくなる話」から始まります。


今回紹介するのは、私が自分で作った数学の問題です。
受験対策でもなければ、誰かに解かせるために作ったものでもありません。

単純に、

「条件をどんどん重ねていったら、最後に何が残るんだろう？」

という興味だけで作りました。

テーマは「連続する自然数の和」ですが、
やっていることは計算というより、条件整理です。

・表し方はちょうど何通りか
・その中で一番長い数列はどこから始まるか
・一番短い数列は何項か
・それらが一致する、という自己言及的な条件

どれも単体なら難しくありません。
ただ、同時に全部満たそうとすると、候補が一気に消えます。

この問題を作っていて一番面白かったのは、
「答えを決めにいった感覚」がほとんど無かったことです。

条件を積み上げていくと、「あ、もうこれしか残らないな」というところに自然に落ちました。

以下が、その問題と解答です。


【問題：数列の和】

自然数 N は、次の3つの条件をすべて満たす。

1. N を「2つ以上の連続する自然数の和」として表す方法が、ちょうど3通りある。
2. その3通りの表し方のうち、項数が最も多い数列の先頭の数を S とする。
3. その3通りの表し方のうち、項数が最も少ない数列の項数を L とする。

このとき S = L が成り立つ。

以上の条件を満たす最小の自然数 N を求めよ。


【解答】

1. 条件の整理と N の形の決定

ある自然数 N を「2つ以上の連続する自然数の和」として表す方法の総数は、N の「1 を除く奇数の約数の個数」に等しいことが知られている。
（※1項のみの自明な和を含めると、「奇数の約数の個数」そのものに等しい）

本問の条件1より、表し方は3通りであるため、1項の表し方を含めると全部で4通りとなる。すなわち、N の奇数の約数の個数は 4 個である。

奇数の約数をちょうど4個持つ自然数（の奇数部分）は、以下のいずれかの形に限られる。
(A) p^3 （p は奇素数）
(B) p1 × p2 （p1, p2 は異なる奇素数）

また、N が偶数である場合、N = 2^m × (奇数部分) と表せるが、
2^m を掛けても奇数の約数の個数は変わらない。
奇数の約数を4個持つ最小の奇数は 15 (3×5) であり、これを偶数にした場合の最小値は 30 (2×15) となる。
よって、もし 30 未満に解が存在するならば、それは必ず奇数である。
まずは N < 30 の範囲で奇数の解を探し、存在しなければ 30 以上の数を検討することとする。

以下、(A), (B) の場合分けを行い、最小の N を探索する。

2. 各場合の検証

連続する自然数の和の公式
N = k(2a + k − 1) / 2
より
2N = k(2a + k − 1) ……(※)
が成り立つ（k は項数、a は先頭の数）。
ここで k と (2a + k − 1) は大小関係 k < (2a + k − 1) があり、かつ偶奇が異なる整数である。（N は奇数であるため、片方は奇数、もう片方は偶数となる）

【場合A】 N = p^3 （p は奇素数）のとき

2N = 2p^3 を「偶奇の異なる2数の積」に分解し、k < 相手 となる組み合わせ（項数の候補）は以下の3通りである。

1. k = 2  （相手は p^3）
2. k = p  （相手は 2p^2）
3. k = 2p （相手は p^2）
   ※ p は奇素数（p ≧ 3）より、2 < p < 2p < p^2 の順に大きくなるため、これらはすべて有効な分解である。

・項数が最も少ない数列の項数 L
　最小の k は 2 なので、L = 2 である。

・項数が最も多い数列の先頭の数 S
　最大の k は 2p である。
　(※)式に k = 2p を代入して先頭 a（すなわち S）を求める。
　2p(2S + 2p − 1) = 2p^3
　2S + 2p − 1 = p^2
　2S = p^2 − 2p + 1
　S = (p − 1)^2 / 2

・条件 S = L の検証
　S = L = 2 より
　(p − 1)^2 / 2 = 2
　(p − 1)^2 = 4
　p − 1 = ±2
　p > 0 より p = 3。

　このとき N = 3^3 = 27。
　（27は奇数の約数が 1, 3, 9, 27 の4個であり、条件を満たす）

【場合B】 N = p1 p2 （p1 < p2 は異なる奇素数）のとき

2N = 2 p1 p2 を分解して得られる項数 k の候補を考える。
N が奇数であれば常に 2N = 2×Nという分解が可能であり、
k = 2は常に最小の項数となる（2 < p1 p2 は自明）。
したがって、最短の項数は常にL = 2である。

条件 S = L = 2 を満たすためには、
「項数が最も多い数列の先頭の数 S」が 2 でなければならない。

先頭が 2、項数が k_max の数列の和は
2 + 3 + ... + (k_max + 1) = k_max(k_max + 3) / 2
となる。これが N に等しいため、2N = k_max(k_max + 3)
が成立する必要がある。

つまり、2N が「差が3である2つの整数の積」で表され、かつその小さい方の数 k_max が、その N における最大の項数であればよい。

N = p1 p2 型（奇約数が4個）でこれを満たす最小の数を探索する。
k_max を小さい方から試す。

・k_max = 4 のとき：2N = 4×7 = 28 ⇒ N = 14（偶数なので除外）
・k_max = 5 のとき：2N = 5×8 = 40 ⇒ N = 20（偶数なので除外）
・k_max = 6 のとき：2N = 6×9 = 54 ⇒ N = 27（これは p^3 型であり、場合Aで確認済み）
・k_max = 7 のとき：2N = 7×10 = 70 ⇒ N = 35
　
　N = 35 について検証する：
　- 35 = 5 × 7 なので p1 p2 型である（奇数の約数は 1, 5, 7, 35 の4個）。
　- 2N = 70 の有効な分解（k < 相手）をすべて挙げると：
　  1. k=2, 相手=35  （分解 2×35）
　  2. k=5, 相手=14  （分解 5×14）
　  3. k=7, 相手=10  （分解 7×10） → k_max = 7
　  （次は k=10 となるが、10 > 7 なので項数として不適）
　
　- 最大項数 k=7 のときの先頭 S を求めると：
　  7(2S + 6) = 70 ⇒ 2S + 6 = 10 ⇒ 2S = 4 ⇒ S = 2
　
　- 最小項数 L = 2、最大項数の先頭 S = 2 となり、S = L を満たす。

よって、場合Bにおける最小解は N = 35 である。

3. 結論

条件を満たす N の候補として
・場合Aより N = 27
・場合Bより N = 35
が得られた。

これらを比較して、最小の自然数は 27 である。

【答】
27

【補足】

・本問では「自然数」を 1,2,3,… とし，0 は含まないものとする。

・連続する自然数の和
　N = k(2a + k − 1) / 2
（k は項数，a は先頭の数，a ≥ 1）
より，
　2N = k(2a + k − 1)
と表される。このとき k と (2a + k − 1) は互いに偶奇が異なり，かつ k < (2a + k − 1) が成り立つ。

・【場合A】N = p³（p は奇素数）のとき，
　2N = 2p³ の約数分解のうち，上記条件を満たすものは
　k = 2, p, 2p
の 3 通りに限られる。他の分解では k ≥ (2a + k − 1) となるか，a ≥ 1 を満たさない。

・また，奇数の約数が 4 個である自然数のうち，27 より小さいものは
　15, 21
であるが，いずれも条件 S = L を満たさない。
したがって，本問の条件を満たす最小の自然数は N = 27 である。


この問題を作ってみて、改めて思ったことがあります。

良い問題は、「難しい」必要はありません。
必要なのは、
•条件がすべて意味を持っていること
•途中で無駄な分岐が発生しないこと
•最後に「なぜこれしかないのか」が説明できること

今回の問題は、受験に出るタイプではありません。
点数にもなりません。
解けなくても、何も困りません。

でも、
•数の性質をどう切り分けるか
•条件が候補をどう削っていくか
•「たまたまそうなった」ではなく「そうならざるを得ない」状態をどう作るか

こういうことを考えるには、かなり良い題材でした。

数学の問題は、解くものでもありますが、
作ると、一段階見える景色が変わります。

今回は、その記録です。

]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12951816646.html Wed, 31 Dec 2025 16:30:55 +0900 数学が世界を変えた瞬間：ドイツ戦車問題と統計的推論





「勉強って、何のためにやるの？」

もし生徒や部下にそう問われたら、私は第二次世界大戦の裏で起きた、ある“知的興奮”に満ちた物語を話します。

それは、鉛筆と紙だけで武装した数学者たちが、命がけのスパイ網を凌駕した伝説。
通称、「ドイツ戦車問題（German tank problem）」です。

これは単なる昔話ではありません。GoogleやAppleの生産数を外部から推定する際にも使われる、現代に生きる「統計的推論」の原点です。


1. 連合軍を襲った「パンター戦車」の衝撃

1943年、連合軍はパニックに陥っていました。
東部戦線において、ドイツ軍の新型戦車「V号戦車パンター」が投入されたからです。その性能は圧倒的で、ソ連軍の戦車を次々と破壊していました。

「ドイツは、この怪物を一体どれくらい生産しているんだ？」

連合軍司令部は焦りました。もし月産数千台なら、戦略を根本から見直さなければなりません。彼らはあらゆる手段を使って情報を集めました。

2. スパイ vs 数学者：情報の戦争

当時、ドイツの生産数を知る方法は2つありました。

① 従来のスパイ情報
捕虜への尋問、潜入スパイからの報告、輸送列車の目撃情報、ニュース映像の分析。これらを集約したロンドンやワシントンの情報部は、自信満々にこう報告しました。
「ドイツは、月産 約1,400台 の戦車を生産している」

② 経済戦争省の数学者たち
一方で、物理学者や数学者からなる分析チームは、戦場で破壊・鹵獲（ろかく）されたドイツ戦車の「残骸」に注目しました。
彼らが目をつけたのは、戦車のギアボックスやシャーシに刻印された「シリアル番号（製造番号）」です。

ドイツ人は几帳面でした。製造順に 1, 2, 3... と規則正しく番号を振っていたのです。
数学者たちは考えました。
「戦場でランダムに見つかった番号の“最大値”と“個数”がわかれば、全体の総数がわかるはずだ」


3. 「見えない全体」を暴く数式の正体

彼らが導き出したのは、以下の推定式です。これは統計学において「最小分散不偏推定量」と呼ばれる、非常に精度の高い式です。

N ≒ m + (m/k)- 1

N：推定される戦車の総生産数
m：見つかった番号の中で最大の数字
k：見つけた戦車の台数（サンプル数）

なぜ、この式でわかるのか？

これは「平均的な隙間の大きさ」を考えることで理解できます。

例えば、番号が1から始まるクジが箱に入っているとします。
そこから4枚引いたら、「7, 13, 24, 31」が出ました。最大値は31です。

このとき、引いた数字と数字の間には「隙間」があります。
統計的に考えると、ランダムに引いた場合、「数字同士の平均的な隙間」と「最大値（31）からゴール（総数）までの隙間」は、だいたい同じになるはずです。

* 引いた枚数（k）が4枚なら、全体は5つの区間（隙間）に分割されます。
* 見えている最大値（m）を、区間の数（k）で割ったものが、平均的な隙間の大きさ（m/k）です。
* だから、最大値（31）に、平均的な隙間（31÷4）を足せば、ゴールに届くのです。

最後の「-1」は、自分自身のカウントによるズレを補正するための微調整（数学的な厳密さ）です。


4. 衝撃の結末：数学の圧勝

では、結果はどうだったのでしょうか？

* スパイの推定：月産 1,400台
* 数学者の推定：月産 246台

両者の数値は6倍近くも違いました。司令部は混乱しましたが、最終的に数学者の数字を採用して作戦を立てました。
そして戦争が終わり、ドイツの産業省から押収した「実際の生産記録」と答え合わせが行われました。

真実は…… 月産 245台。

スパイの誤差は1000台以上。
数学の誤差は、わずか1台。
数学者たちは、戦場に行かず、デスクの上だけで真実を言い当てたのです。


5. 現代に生きる「戦車の数式」

この物語はここで終わりません。この手法は「シリアル番号分析（Serial number analysis）」として、現代のビジネスや諜報活動でも使われています。

有名な例が、iPhoneの販売台数推定です。
かつてAppleが販売台数を非公開にした際、アナリストたちは世界中のユーザーから「iPhoneのシリアル番号」や「MACアドレス」をネット掲示板で集めました。
そして、まさにこの「ドイツ戦車問題の式」を使って生産台数を逆算し、Appleの株価予測に利用したのです。


結論：「霧の中を見通すメガネ」

限られた情報（断片的な戦車の番号）から、見えない全体像（敵の総戦力）を論理的に推測する。世界は常に不確実で、情報は常に不足しています。

そんな霧の中で、感情や勘に頼らず、事実と論理で正解に近づく力。
ドイツ戦車問題は、数学がそのための最強の武器であることを教えてくれています。

※本記事の内容は史実をもとにしていますが、理解しやすさを優先して簡略化しています。戦車生産数の推定には、スパイ情報・現地報告・経済データ・統計的推論など複数の方法が組み合わされており、ここで紹介した事例はその一側面です。また、具体的な台数や推定誤差については資料により幅があります。


]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12951489770.html Tue, 30 Dec 2025 16:00:41 +0900 【高校受験シリーズ】偏差値65の壁。難関校を目指すなら解いておきたい「立体×幾何」の融合問題 こんにちは。今回は「高校受験シリーズ」として、自作の数学問題を紹介します。

今回の問題、正直に言います。簡単ではないです。
単なる計算力だけでなく、空間図形を正しく把握する力、そして図形の持つ「対称性」を見抜く直感力が試されます。

どんな人に解いてほしいか
この問題は、以下のような受験生を想定して作りました。

1.  難関私立・国立高校（開成・灘・筑駒・早慶附属など）を志望している人
    このレベルの入試では、今回のような「複数の単元が融合した重たい問題」が合否を分けます。
2.  「解き方は合っているはずなのに、数字が汚くて不安になる」練習をしたい人
    入試本番では、答えが綺麗な整数になるとは限りません。自分を信じて計算しきる精神力を鍛えるのに最適です。
3.  数学で周りと差をつけたい人
    特に(3)の設問は、ある「事実」に気づけば一瞬で解けますが、気づかないと泥沼にはまります。この「気づき」の感度を高めたい人におすすめです。

腕に覚えのある中学生、あるいは高校生・大人の方も、ぜひ紙とペンを用意して挑戦してみてください。

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【問題】テーマ:八面体の計量と切断




底面がひし形 OPQR であり、空間内の2点 A, B を頂点とする八面体 A-OPQR-B がある。
この八面体は、底面 OPQR を含む平面に関して対称であり、以下の条件を満たしている。

AP = AR,  AO = AQ

また、この八面体を構成する3つの四角形（断面積）について、それぞれの面積は以下の通りである。

・四角形 OPQR = 160 cm²
・四角形 APBR = 240 cm²
・四角形 AOBQ = 192 cm²

このとき、次の問いに答えよ。

(1) この八面体の表面積を求めよ。

(2) この八面体の体積を求めよ。

(3) 辺 AQ を 9:4 に内分する点を S とする。
点 S を通り直線 AQ に垂直な直線と、辺 OB 
との交点を T とする。また、辺 AR を 4:9 に
内分する点を U とする。
このとき、3点 S, T, U を通る平面でこの八面体を
切断してできる2つの立体のうち、頂点 R を含む方
の立体の体積を求めよ。


【解答・解説】

まずは、条件から各辺の長さを求めるところからスタートです。ここができないと始まりません。

Step 0：長さの特定
底面の対角線の交点を H とします。
OH = x, PH = y, AH = h と置くと、与えられた面積から以下の連立方程式が立ちます。
1.  xy = 80
2.  hy = 120
3.  hx = 96

これを解くと、x = 8, y = 10, h = 12 が導き出せます。
これで準備完了です。

(1) 表面積
この八面体は、すべての面が合同な三角形でできています。
△AOP の面積を求めて8倍すればOKです。

三平方の定理を駆使して、△AOP の高さを求めます。
まず底面の △OHP で H から OP に下ろした垂線の長さを求め、さらに空間での高さを計算すると、△AOP の面積は 4√469 となります。

「√469」という数字を見て「計算ミスしたかも？」と不安になった人は、作題者の術中にはまっています。このまま進んで正解です。

答え： 32√469 cm²

(2) 体積
これはサービス問題。
上半分の四角錐（底面積160、高さ12）の体積を求めて、2倍するだけです。

1/3 × 160 × 12 × 2 = 1280

答え： 1280 cm³

(3) 切断後の体積
ここが最難関であり、この問題のクライマックスです。
まともに積分したり、図形を分割して計算しようとすると時間が足りません。

ポイントは「直角三角形の相似」と「対称性」です。

断面図であるひし形 AOBQ のうち、直角三角形 △AHQ（∠H=90°）に注目します。
Step 0 で求めた通り、AH = 12, HQ = 8 です。

ここで、中心 H から斜辺 AQ に向かって垂線を引いてみましょう。
直角三角形の相似の性質（または三平方の定理）を利用すると、この垂線が斜辺 AQ を分ける比は、以下のようになります。

AH² : HQ² = 12² : 8² = 144 : 64 = **9 : 4**

問題文を思い出してください。点 S は「辺 AQ を 9:4に内分する点」でした。
つまり、点 S を通り AQ に垂直な直線 ST は、この八面体の中心 H を通過するのです。

「点対称な立体を、その対称の中心を通る平面で切断すると、体積は必ず二等分される」

この事実にたどり着ければ、面倒な計算は一切不要です。
全体系の体積を半分にするだけです。

1280 ÷ 2 = 640

答え： 640 cm³


まとめ

いかがでしたか？

(1)では、汚い数字が出ても動じない「計算のタフさ」
(2)では、確実に得点する「基礎力」
(3)では、計算地獄を回避するための「論理的思考（幾何的性質への着目）」

この3つを問う問題でした。
特に(3)のような問題は、難関校入試では「時間をかけて解く問題」ではなく「一瞬で性質に気づいて処理する問題」として出題されます。

「難しかったけど面白かった！」と感じてくれたなら、あなたの数学力は確実に伸びています。
次回の問題もお楽しみに！



質問・リクエスト募集中！

解説を読んでも分からなかった点や、「こんな単元の問題を作ってほしい！」というリクエストがあれば、ぜひコメントやメッセージで教えてください。
合格を目指して頑張りましょう！

]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12951384133.html Mon, 29 Dec 2025 16:00:52 +0900 自作問シリーズ⑦・二等分線 最近、コンビニで新作スイーツを見つけると、とりあえず一旦手に取ってしまうんですよね。

別にお腹が空いてるわけでもなくて、夕飯の前だったりするのに、なぜかスイーツコーナーの前で立ち止まってしまうんです。

期間限定って言葉に弱いのか、
新発売ってシールに弱いのか、
単純に甘いものに弱いのか。

たぶん全部なんですけど。

「今日は甘いの控えよう」って思って入ったはずなのに、
レジに着く頃にはなぜか袋の中に入っている。

あれ多分、理性じゃなくて手が勝手に動いてます。

しかも帰り道で
「いや、今日は歩いたし」
「今日は頑張ったし」
「今日は特別な日ってことにしよう」
と、自分に有利な裁判を一人で開廷して勝訴してます。

そして家に帰ってから
「まあ、今日はご褒美デーということで」
って毎日言ってる気がする…。

意思の弱さって、だいたい甘いものの前でバレますよね。


……というどうでもいい話は置いといて、今日の問題はこちら。


【問題】


図のような凸四角形ABCDがある。
頂点はA, B, C, D,  の順に四角形の周上を一周するものとする。

(1) 対角線BDの長さは6である。
(2) ∠ABD＝60°，∠BDC＝45°である。
(3) 対角線ACは対角線BDと垂直に交わり，その交点をRとする。
(4) 線分BC上に点Qを，点Bと点Cの間にとり，∠BAQ＝15°，かつ AB＝AQ とする。
(5) 直線AQと対角線BDの交点をPとし，Pは線分BD上にあるものとする。

このとき，三角形ABQの面積を求めよ。

ただし，解答には小学生算数〜中学生数学の範囲（三平方の定理，相似，一次関数など）のみを用い，高校数学（三角関数，回転行列など）は用いないこと。

流れ（ざっくり方針だけ）

この問題は、最初から最後まで

・二等分線  
・相似  
・面積比  
・図形の“組み替え”

だけで押し切るタイプの問題です。
高校数学っぽい道具（座標・三角関数など）は一切使わなくてもいけます。

ざっくりした流れだけ書いておきます。


 ① 直角のあるところを中心に分ける

まず、AC と BD が直交していて、その交点が R になっているので、
この R を中心に三角形をいくつかに分けて考えます。

対角線 BD を“骨”だと思って、

・△ABD  
・△CBD  

という2つの大きな三角形に注目し、
さらにその中を R や P を使って細かい三角形に分割していきます。


② 特殊角（60°・45°・15°）から相似を拾う

次に、条件にある

・∠ABD＝60°  
・∠BDC＝45°  
・∠BAQ＝15°

この3つの角度を手がかりに、

・正三角形の形  
・直角二等辺三角形の形  
・その差として出てくる 15° の三角形  

など、形が「似ている三角形」を順番に探していきます。

ここでは、角の二等分線や補助線を少し足して、

「この三角形とこの三角形は角が同じだから相似」

という関係を何組か作り出すのがポイントになります。


③ 面積比で攻める

長さを直接求めるのではなく、

・底辺の比  
・高さの比  
・相似比  

から、それぞれの三角形の 面積比を伝言ゲームのようにつないでいきます。

特に、BD＝6 という情報は、
“基準になる大きな三角形” の面積を決めるためのスタートになります。

あとは、

・全体の三角形の面積  
・その中で △ABQ が占める割合  

を、相似と面積比だけで追いかけていくイメージです。


④ 図形の組み替えで整理する

途中で出てくるいくつかの三角形は、向きが違うだけである図形になります。

それらを

「もし平行移動や回転で動かしたとしたら、ここにピッタリ重なるな」

というイメージで“組み替え”て考えると、

複雑に見えていた部分が
「一つの大きな三角形」や「分かりやすい形の集まり」
としてまとめられます。

この組み替えのおかげで、

△ABQ の面積 がもとの大きな三角形の面積やきれいな比

で表せるようになります。


 ⑤ 最後に計算をまとめる

ここまでで、

・基準となる三角形の面積  
・各部分の面積比  

がすべて分かるので、
それらを整理して計算すると、最終的に

> 三角形ABQの面積は  
> 　9(√6 − √2)

という値になります。

細かい途中式は省いていますが、
使っているのは

- 角の二等分線  
- 相似の三角形  
- 面積比  
- 図形の組み替えの発想  

といった、中学数学で習う範囲の道具だけです。

　
やっぱり数学って、

- 60°
- 45°
- 15°

が同時に並ぶと一気に香りが変わるんですよね。

計算問題というより、

> 「パズルを解いてる感覚」

に近くなる。

しかも今回みたいに、

- 垂直
- 二等辺
- 特殊角度

が全部同居すると、

> 「あ、これは絶対に綺麗に終わるやつだ」

って途中でわかる。

で、実際に計算したら  
最後が 9(√6 − √2) で終わる。

このまとまり方、感動もんです。


スイーツ並みに甘い。  
（結局甘い話に戻る）


おわりに

今回の問題は、

- 見た瞬間に心が折れそう
- でも解き始めると沼にハマる
- 気づけば √2 と √6 を書いている

そんなタイプでした。

解いた人はお疲れさま。  
眺めただけの人は正解。  
楽しんだ人は優勝。


また良い問題ができたら載せます。
]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12951254071.html Sun, 28 Dec 2025 16:00:57 +0900 雑談シリーズ・木の棒も好きだし、伝説の武器も好き。 最近ちょっとだけ、正直なことを書こうかなと思いまして。

今までのブログで、
「高校数学は甘え」
「中学範囲で殴れ」
「三角関数に逃げるな」
みたいなことを、わりと堂々と言ってきました。

あれを読んで、
「ああ、この人、高校数学嫌いなんだな」
と思われていたら……

ごめんなさい。

実は高校数学もめっちゃ好きです。笑


もちろん、中学範囲だけでゴリ押しする世界観が1番好きです。
補助線と三平方と相似だけでどうにかするあの感じ。
なんか「道具少ないのに工夫で勝負してる感」があって楽しいんですよね。

でも同時に、

sinθ，cosθ とか
微分とか積分とか
ベクトルとか

あれはあれでめちゃくちゃ綺麗なんですよね。

高校数学を“甘え”って言葉でいじっていたのは、
嫌いだったからじゃなくて、

「便利すぎる強武器だから」

が主な理由です。

RPGでいうと、
中学数学＝木の棒
高校数学＝伝説の武器

木の棒だけでラスボスを殴りに行くのって、
正直ちょっと楽しいじゃないですか。
意味わからない達成感がある。笑

でもだからと言って、
「伝説の武器を使う奴は甘えてる」とは本当は思ってなくて、

むしろ、

武器の切り替えが上手い人  
状況で数学の道具を選べる人  

が一番かっこいいな、と最近は思ってます。


中学範囲のみの縛りプレイも好きだし、
高校範囲でゴリゴリ解くプレイを見るのも好き。

矛盾しているようで、
どっちもちゃんと本音です。

これからもたぶん、
「高校数学は甘え」みたいなノリは冗談で使います。
言い回しとして。笑

でも心の中では、

高校数学ありがとう  
三角関数ありがとう  
ベクトルありがとう  

って思ってます。


数学そのものが
道具も全部含めて楽しいし、好きです。

今日はただそれを言ってみたかっただけでした。
]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12951169143.html Sat, 27 Dec 2025 16:00:23 +0900 自作問シリーズ⑥：30°ズレただけなのに、放物線が出てくる 今日はクリスマスですね🎄🤶
最近、意味もなく部屋の配置を変えました。

ベッドを10cmずらして、机を90°回して、  
「これで生活が変わるぞ」みたいな顔をしてみたんですが、  
変わるのってだいたい見た目と動線だけなんですよね。

なのに人間って、  
“ほんの少しズレた” ってだけで、急に世界が別物に見えることがある。

冷蔵庫の開く向きが逆になるだけで、毎回ちょっと腹立つし、  
イヤホンの左右を入れ替えるだけで、音楽が微妙に違う気がするし、  
スマホのホーム画面を並べ替えただけで、性格が変わった気がする。

たぶん、ズレって面白いんだと思います。  
ほんの少しなのに、地味に全部に影響するから。

で、今回の問題もまさにそれで。  
「30°だけ回す」っていう、いちばん軽いズレを入れたら、  
なぜか放物線が生まれてしまいました。

なんでだよ。


それがこの問題

【問題】  
正六角形Pを、二つの頂点が一番下になるように配置する。正六角形Pの中心を点Oとする。  
正六角形Pにおいて、一番上にある二つの頂点のうち、左側の頂点から反時計回りにA, B, C, D, E, Fとおく。  
また、正六角形Pを点Oを中心に反時計回りに30°回転させた後のA, B, C, D, E, Fの位置をそれぞれA', B', C', D', E', F'とし、これらを頂点にもつ正六角形をQとする。  
このとき、頂点B, E, B', D'が放物線 y = ax² 上にあった。  
点Dのx座標が3のとき、次の問いに答えよ。

【条件】  
解答には中学数学の範囲（三平方の定理、相似、一次関数など）のみを用い、高校数学（三角関数、回転行列など）以上は使用しないこと。

(1) aの値を求めよ。  
(2) 正六角形Pと正六角形Qの全ての交点を頂点にもつ正多角形Rについて、一辺の長さ、面積、内接円の半径、外接円の半径をそれぞれ求めよ。  
(3) (2)の正多角形Rの頂点のうち、一番上にある頂点の中で最も左にある点をTとする。点Tを通り、正多角形Rの面積を三等分するような直線の式を求めよ。


この問題、最初の印象は「やってること素直」なんですよ。

正六角形があって、  
同じやつを30°回しただけで、  
交点が増えて、勝手に正多角形ができて、  
さらに “放物線の上に乗る” って条件が乗ってくる。

でも、読みながら一番イヤなのって、たぶんここです。

> 「B, E, B’, D’が放物線 y=ax² 上」

急に “関数” がしゃべり始めます。

図形の会話に、座標が割り込んでくる感じ。  
教室でいうと、みんなで雑談してたら急に先生が入ってくるやつです。

ただ、ここが今回の核で、  
「ズレ（30°）＋対称（六角形）」＋「座標（放物線）」 
この3つが噛み合うと、思った以上にキレイに決まります。


解答と解説

※以下、“中学範囲の見え方”で書いています。  
計算の細部は、読みやすさ優先で省略します。

(1) a の値

点Dのx座標が3、という条件からスタート。

正六角形は「正三角形6枚」でできているので、  
中心Oから頂点までの長さ＝一辺の長さ、になります。

あとは図の置き方的に、  
点Dの “x方向成分” が一辺の半分になる形が作れるので、

- OD = L（＝一辺）
- Dのx座標 = L/2 = 3

よって L = 6。

次に、BとEは左右の端。  
中心を(0, Y)とおくと、

- B(-6, Y)
- E( 6, Y)

放物線 y=ax² に乗るので

Y = 36a ……①

さらに、Bを30°回した点B’も同じ放物線上。  
（ここは「30°ずれる＝1:2:√3 の直角三角形が出る」と見て、座標を作ります）

結果として

Y - 3 = 27a ……②

①②を連立して

36a - 3 = 27a  
9a = 3  
a = 1/3

(答) a = 1/3


(2) 正多角形R

PとQ（30°回転した六角形）の交点を全部拾うと、  
対称性から 正十二角形になります。

- 内接円の半径：正六角形の中心から辺までの距離  
  一辺6の正三角形の高さ＝ 3√3

(答) 内接円半径 3√3

- 一辺の長さ：交点間の距離を追うと  
  12√3 - 18

(答) 一辺 12√3 - 18

- 面積：正十二角形＝「中心からの三角形×12」  
  面積 = 12 × (1/2 × 一辺 × 内接円半径)

→ 648 - 324√3

(答) 面積 648 - 324√3

- 外接円の半径：中心から頂点まで（三平方で距離）  
  6√(6 - 3√3)

(答) 外接円半径 6√(6 - 3√3)

---

(3) 面積を三等分する直線

ここ、個人的にいちばん “ズルい快感” があるところ。

正十二角形って、  
中心角30°の扇形みたいな単位で、面積がきれいに分割できる。

頂点Tから見て「5つ隣の頂点」を結ぶと、  
切り取られる領域がちょうど 1/3 になる、という見え方ができます。

その結果、直線は xが一定の縦線 になり、

(答) x = 9 - 6√3


解いてみて思ったこと


30°って、本当に絶妙です。

45°だと「いかにも直角」が出てきて、  
60°だと「いかにも正三角形」が出てきて、  
どっちも強すぎて、問題が“説明的”になります。

でも30°は、  
ちょっと斜めで、ちょっとめんどくさくて、  
そのくせ たまに急にキレイになる。

生活でも同じで、  
配置換えって、きれいに変わることは少ないんですよ。

だいたい、  
「椅子を引くたびにカーペットがズレる」とか、  
「コンセントが絶妙に届かない」とか、  
そういう “30°っぽい不快” が増える。

ただ、その不快が積み上がると、  
ある瞬間に「これ、逆に完成形じゃね？」ってなることがあります。

今回の図形も、たぶんそれで。  
ズレたことで交点が増えて、  
増えたことで正十二角形が生まれて、  
生まれたことで面積分割が急に気持ちよくなる。

最初はただの六角形だったのに、  
30°ずれた瞬間、急に世界が“図形の顔”をしてくる。

ズレって、やっぱり面白いと実感する問題でした。


おわりに

このシリーズ、毎回そうなんですが、
「問題を解かせたい」より、
“問題が生まれる瞬間の気持ち”を書きたいんですよね。

• たまたま回したら
• たまたま重なって
• たまたま条件が乗って
• たまたま気持ちよく決まる

数学って、そういう偶然の連鎖が一番うまい気がします。
解いてもいいし、
眺めるだけでもいいし、
「放物線出てくるの急すぎだろ」って突っ込んでもいい。

ただ、この偶然の積み重ねでできた結晶を、無粋な重機で壊そうとするのだけは勿体ないと感じてしまうのです。

もちろん、高校数学以降で習う便利な公式や定理は、
確かに強力な武器です。

三角関数やベクトルといったツールを使えば、この程度の造成工事は一瞬で終わるでしょう。

しかし、強力すぎる武器に頼り切ることは、時に「図形の本質」を見る目を曇らせます。

あえて武器を捨て、己の思考力と工夫だけで、いびつな難問に挑む。
どこに補助線を引くか、どう対称性を見抜くか。その泥臭い試行錯誤の過程にこそ、数学本来の面白さが現れるのです。

もし、したり顔で「高校範囲を使えば簡単なのに」と言ってくる人がいたら、こう思って大丈夫です。
「君は便利な道具がないと、その程度の図形も扱えないのか」と。




]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12951059753.html Thu, 25 Dec 2025 16:00:51 +0900 雑談シリーズ・住民 数学の問題を読んでいると、ときどき「これ、設定を考えた人は途中で正気を失ってないか？」と思うことがある。計算が難しいとか、証明が重いとかじゃない。設定が、あまりにも平然と狂っている。

まず点P。点Pは数学界で一番働かされている存在だと思う。とにかく動く。止まらない。線分の上、円周の上、放物線の上。気づいたら今日もどこかを移動している。なぜ動くのかは書いてない。理由はない。理由がないということは、考慮する必要もないということになる。だから点Pは黙って動く。しかも速さは一定。毎回一定。Pに「今日はちょっと気分が乗らないので遅めで」とかいう選択肢はない。数学世界に有給という概念はない。

問題文は平然と「点Pが動くとき」と書く。動くのが前提。動かないPは想定外。存在しているだけでは不十分で、必ず移動していなければならない。しかも移動の結果だけが重要で、Pがどう感じているかは完全に無視される。必要なのは座標。人格はいらない。ここまでくると、点Pという名前も優しすぎる。Pはもう作業番号だ。

次に、池の周りを走る兄弟。これも冷静に考えると相当おかしい。なぜ池なのか。なぜ走るのか。なぜ兄弟なのか。三点すべて説明が省略されているのに、速さだけは異様に正確だ。兄は毎秒3m、弟は毎秒5m。この数字だけは絶対に裏切らない。兄弟の関係性は分からない。仲がいいのか悪いのかも分からない。でも相対速度だけは完璧に管理されている。

兄弟は池の周りを延々と走る。ゴールはない。止まるという選択肢もない。問題文は容赦なく言う。「兄と弟が初めて出会うのは何秒後か」。初めて、という言葉の使い方がもう怖い。物理的にはずっと一緒にいるのに、数学的に位置が一致しない限り、出会っていない扱いになる。この世界では、すれ違っても会話しても、位置が違えば他人だ。

しかも、出会ったからといって解放されるわけでもない。問題が続く限り、兄弟はまた走る。追い抜き、追い抜かれ、また同じ場所に戻る。完全に無限ループ。もし彼らが申請書を書くとしたら、「事故内容：追い抜かれ続けた」「原因：池が円だった」「対策：特になし」になると思うが、提出先は存在しない。数学世界に労基はない。

こうして数学世界を眺めていると、だんだん共通点が見えてくる。全員、理由を持たない。感情も持たない。持っていたとしても、問題文に書かれていないので存在しない扱いになる。重要なのは条件だけだ。速さ、距離、位置、時間。それ以外はノイズ。

たぶんこの世界には求人票がある。「募集：点、兄弟、人。条件：一定の速さで動けること。歓迎：疑問を持たない方。勤務地：線分、円、池、階段。休日：問題が解かれるまでなし」。これを見て違和感を覚える人は、まだ現実側にいる。

もう一つ、数学世界で地味に怖いのが、学年が上がるにつれて問題文の態度が育つ現象だ。小学生の問題文はまだ優しい。「たろうくんはアメを持っています」「いくつありますか？」と、ちゃんと人名が出るし、事情も説明してくれる。こちらを“読む人間”として扱ってくれている。言ってみれば、店員さんが笑顔で案内してくれるタイプの数学だ。

中学生になると、空気が変わる。「AとBがある」「次を求めよ」。この辺から登場人物が人間じゃなくなる。たろうくんが突然アルファベットに改名し、職業も家族構成も消える。背景は削除され、「そうなっている」だけが事実になる。説明は減るのに命令は増える。数学がだんだん“先生”というより“仕様書”に寄っていく。

高校に入ると、問題文は命令形を覚える。「次を示せ」「〜を証明せよ」。口調が急に体育会系になる。もう会話じゃない。提出物だ。「ただし、〜とする」。この一文は怖い。世界のルールが一行で決まる。しかも決めた本人は責任を取らない。異議申し立ては不可、というか制度がない。こちらが「いやその設定無理でしょ」と思った瞬間に、問題は静かにこちらを置いて先へ進む。

大学になると、問題文はさらに省エネになる。「〜と仮定する」「明らかであるから省略する」。ここで問題文はついに“顔”を作らなくなる。どこが明らかなのかは言わない。分からないなら、分からない側が悪い、という扱いになる。しかも言い方が静かだから余計に腹が立つ。怒鳴ってくれれば反抗できるのに、囁くように見下してくる。「明らかである」。いや、誰基準。明らかって言い切る権限、どこで取得したんだろう。こっちは今、必死に読んでるんだけど。

気づくと問題文は、だんだん人に話しかけなくなる。最初は「たろうくん」だったのに、最後は「任意の〜について」。名前も感情も消え、条件だけが残る。文章は短くなる。短くなるのに圧は増える。不思議だけど、確かにそうなっている。数学の文章って、情報量を削るほど偉そうになる才能がある。

そして一番怖いのは、こちらがその態度に慣れてしまうことだ。昔は「なんで？」って引っかかってたのに、いつの間にか「まあ、そう仮定するよね」と受け入れている。問題文が偉そうになったというより、こちらが“従う側”として育てられただけなのかもしれない。最終的には、偉そうな文章を読んで腹を立てるどころか、自分が「明らかなので省略する」とか書き始める。いちばん怖いのは、数学じゃなくて感染だ。

数学ができるようになるって、計算が速くなることじゃない。この世界観に順応することだ。理由を切り捨てて、条件だけを処理する能力。納得する前に進む力。それがないと、点Pはいつまでも意味不明だし、兄弟は永遠に不気味な存在のままだ。

今日もどこかで、点Pは移動していて、兄弟は池を回っていて、誰かが階段を一定の速さで上っている。誰も疑問を持たない。誰も止めない。問題が終わるまで、それが日常だ。

]]> https://ameblo.jp/takachi-265646/entry-12950850729.html Wed, 24 Dec 2025 16:00:03 +0900