お次は文章題。この分野も多くの受験生が苦手意識を持っているように思えます。。。しかしこの分野は練習を重ねれば着実に得意になること間違いなしです！今回の場合は一見複雑に見えますが文章をよく読めば難しく面倒な計算がいらないことに気づくはずです。

（1）1番は小学生にも解けそうなレベルですね笑　速さ系の問題で気をつけるべきなのはやはり単位の違いです。分なのか時間なのかkmなのかmなのか...この問題では答えを分で求められているので確認しましょう！

　　　A君は時速2kmで1.5km   B君は時速3kmで1.5km

         A→1.5÷2×60                B→1.5÷3×60                 答えはA=45分　B=30分

（2）2番は1番であることに気づけばとても楽に解けます。それは速さとかかる時間が反比例していることです！つまり速さが２倍３倍になればかかる時間は1/2倍1/3倍になっているんです。確かに1番においてB君の速さはA君の2/3倍でありかかった時間はB君はA君の3/2倍になっています。言い換えれば。。。

　速さの比がa:bだったら,,,かかる時間の比はb:aなんです！

このことを応用すれば問題文の速さが1.25倍という条件をオシャレに使うことができちゃうんです！ではA君の自転車にかかった時間をxと置き、B君のランニングにかかった時間をyと置くことにしましょう。使う問題の条件は

①B が自転車とランニングにかかった時間は合わせて 2 時間 40 分で あった。

②3 種類の種目を終えてゴールをしたとき，B の方が A より 1 分早くゴール した。

条件が二つとも時間についてなのでx yを使って条件を数式で表してみます。ここで先程の速さと時間の関係を使ってみましょう。自分の速さが1.25倍つまり5/4倍速くなれば相手のかかる時間は4/5倍になります。これらをまとめれば下の表のような関係になるはずです。。。

条件①②より。。。

２つの式を整理すれば。。。

後は連立方程式を解くだけです！　　答えはx=50  y=120と求まります。

大問5は図形の回転。軌跡とも言いますね。高校受験においては少しマニアックな分野であり筑波系、難関進学校、開成や早慶付属高や立教新座高などの数学の問題のレベルが高い学校での出題が多いのでこの年の青学受験生にとっては解きずらかったかった1問であったと思われます。それに加え例年の予想配点で考えればこの問題は5点。少しコスパの悪い問題な気がします。

この問題のポイントはDの動きは円形になっていること。このことは今回に限らず図形の回転の問題では多用します！Dの動きはイメージ的には下の図のような感じ。ようするに色のついた長さの和を求めてくれということです。

何だか五輪カラーみたいですね笑

紫の円＋緑の円＋赤の円＋黄色の円です。どの円も半径は3cmで、紫の円と黄色の円はそれぞれ緑と赤の円にスライドできます！イメージ的にはこんな感じです！

つまり半径3cmの円2つ分の円周ってことですね！円周は直径×πなので3×２×π×2で12πと求まります。よって答えは12πです。

次の大問は平面の図形から立体を逆算的に考えさせる問題。印象としては問題の指示が読み取りにくすぎる💢問題においての高さ（xの部分）は下の図における赤の部分。初見ではほとんどの人が緑の部分と取り違えたのではないでしょうか！？

（1）1番では折り曲げて完成した四角錐の底面の正方形の面積を求めます。

　　　下の図における青の正方形ですね。

この正方形はひし形とも見る事ができるので、黄色で示した対角線×対角線×1/2で求めます。黄色の対角線1本は大きな正方形の一辺の長さである1cmからxの値二個分を引けば求まります。よって黄色の対角線は（1−２x）。

なので底面の正方形の面積は（1−2x）×（1−2x）×1/2より答えは２x²−2x+1/2です！

（2）2番では実際の立体を考える問題です。下の図においての青い線分（AD）を求めていきます。

△ABDで三平方の定理を活用しADを求めます。ABの長さは下の展開図を示した図形においてのEFであり△EFGで三平方をします。EF² ＝EG² ＋GF²より1/4＋x² です。

つまりAB² ＝1/4＋x² 

BDの長さわ（1）で求めた対角線に等しいので1/2×（1−2x）。△ABDで三平方の定理よりAD² ＝AB² -BD² よりAD²＝（1/4＋x²）−（1/2-x）²でAD²がxとわかる。

ここで忘れてはならないのが√をつけること。なので答えは√xである。

お次は平面図形の問題。相似を使えば簡単に解くことができるので、ここは得点源にしたい問題です。

（1）1番は線分AEの長さを求める問題。△ACDと△CEAの相似で求めていきます。

　　  △ACDは1:2:√5の比の三角形なのでAE＝AC×1/2です。

　　　よって√５×1/2=√5/2。　　答えは√5/2。

（2）次は線分FG:GDを求める問題。△AFGと△CDGを使って求めます。

　　△AFGと△CDGの相似比がそのまま答えになります。AFとCDの長さを使って求

　　めていきましょう。AFの長さを求めるために△AFDと△BFEの相似を使います。

　　EBは△AEBで三平方の定理より1/2。これより、△AFDと△BFEは4:1である。

　　したがって、AFの長さは、4/5と分かる。4/5:1より△AFGと△CDGの相似比は

　　4:5。　　　答えは4:5。

（3）四角形FBCGを求めろという問題。基本方針としては、（2）で求めた4:5という

　　 比を使い△AGDを求めた後に△CGEを求め、そこから△EBFを引く。

　　△AFGは4/5×２×1/2より、4/5。（2）で求めた4:5の比より△AGDは4/5×5/9

　　より4/9。

　　△CGEと△AGDの面積比は25:16より△EGCは4/9×16/25より25/36。

　　そこから△EBFを引く。△EBFは1/20より25/36−1/20は29/45。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答えは29/45。

最後の大問も⑦に続いて平面図形の問題。しかし円が入り込んでいるので少し難易度が高いように思えます。

（1）AEの長さを求める問題。方針としては、条件にある、角の二等分線定理を使って△AECで三平方していきます。

　△ABCは円に内接する三角形でありABが円の直径なので∠ACBは直角であると言えます。このことから△ABCは3:4:5:の直角三角形ですね。

　ここで角の二等分線定理からBE:ECが5:4と導けます。よってEC=4/3であり、△AECで三平方の定理よりAEが4√10/3ですね。　　答えは4√10/３です。

（2）DEの長さを求める問題ですね。下の図におけるBDに直線を補い（1）で使った△AECと△BEDが相似であることを使います。

①∠BED＝∠AEC（対頂角）　　②∠CAE=∠DBE（円周角の定理）

①②より2角共通なので△AECと△BED

AE:AC=√10:1＝BE:EDなので、ED＝BE×1/√10。

よって5/3×1/√10よりED＝√10/6。　　　　　　　　答えは√10/6。

（3）この問題では接弦定理による△BFCと△CFAの相似を使います。

　　　問題であるBFの長さをxと置きます。

　　　△BFCと△CFAにおいて

　　　①∠Fは共通角。②∠BCF＝∠CAB（接弦定理）①②より二角共通で相似です。

         BC:ACは3:4より相似比は3:4です。このことから、BFに対応した辺であるCF

は（4/3）xと表せますね。

ここで円の中心OからCに垂線を下ろします。こんなイメージです！

△COF（黄色の三角形）において三平方の定理を使います。CFが（4/3）x、BFがxと表せ、OB、OCは共に半径なので5/2ですね。

これらをFC²＋OC²＝OF²という関係式に当てはめます。

したがって、x=45/7と求められました。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答えは45/7ですね。

〜解答編〜

〜終わりに〜

2020年度は例年には少ないようなタイプの問題が多く苦戦した受験生が多かったと思われます。しかしながら、難易度的には標準レベルの問題が多いので幅広い分野をマスターすることが合格に近づく鍵になるかもしれませんね。。。

受験生の皆さん頑張ってください！応援していますよ♡

附属校人気が加速する中で、青山学院高等部を卒業すれば8割の生徒が青山学院大学に進学できることもあり、近年の入試においては難化したように思えます！しかし、基本問題を完璧にしてミスをなくせば合格間違いなしなはずです！

〜問題〜

最初は毎年恒例の大問まるまる一つを使った計算問題です。

注目したいのは√の中の分数の分子！計算問題において圧倒的な支持率を得ている

「2乗−2乗」の形です。「2乗−2乗」は基本的に和と差の積の形で表すことが解決への近道です。この場合は。。。

整理してみると...

この時点でだいぶ綺麗になりましたが勘の良い人なら気づくはず！良い感じに約分できるんです！

最後に有理化してあげれば...答えは√６/4ですね！

続いて例年にはなかった経路の問題です。経路の問題においては「場合分けして考える」ことが大切です！場合分けする為にもそれぞれの点に名前をつけます♡

（1）（ア）...この問題においてはA-D-Bの1パターンしかあり得ません。A-Dに移動する確率は問題の条件にある通り、3分の１

また、D-Bに移動する確率も同じく3分の１なので、1/3×1/3＝1/9です。

　　　（イ）...この場合には、A-E-A  A-C-A  A-D-Aの3パターンがあり、それぞれに移動は2回ずつあるので3分の１×3分の１が3パターン。つまり1/3×1/3×3より答えは1/3ですね。

（2）...（１）と違うとことは移動回数が3回になったことです。これによりパターンが増え冷静に考えることが必要になりました。A-E-A-C  A-D-A-C  A-C-A-C  A-C-F-C  A-C-G-Cの5パターンです。それぞれに移動は3回ずつあるので3分の１×3分の１分の１が5パターン。つまり1/3×1/3×1/3×5＝5/27です。

大問3は二次関数。苦手意識を持つ受験生が多いようだが、ここの小問3題は得点にしたいところ,,,

（1）問題の条件よりCのy座標は2であることから-a×-2×4＝２が成り立つ。この式をaについて解けばa＝1/4

（2）問題の条件よりDは直線OB上にあり、直線CDが△ABCの面積を二等分している。言い換えれば△BCDは△ABCの半分。

　　　△ABCは線分OCを底辺とみることで、線分ABを高さの三角形と捉えることができる。よって2×6×1/2より△ABC＝６。             △BCD＝３と求められる。ここで下の図における斜線部分（△BCD）の面積が3になる点がDである。注目したいのは直線OBの傾きが1なことだ。

△BCDにおいて点Cからx軸に平行な垂線をおろし直線OBとの交点をEとすると直線OBの傾きが1なことからEは（２,2）であることが分かる。線分CEを底辺と見て、BE、EDそれぞれのy座標の差を高さと見れば△BCDの面積を求められる。Dの座標を（d,d）と置けば△BCD＝３より2×（4-d）×1/2＝3が成り立つ。よってdの値は１である。答えはD（1,1）この解法のようにできるだけ一次方程式で解くことがミスを減らすことにつながるかもしれません。

（3）この問題は二次関数の問題でおなじみのあいつです。ポイントは答えが複数あることです。面積が等しい三角形を見つける問題において大切なのは共通の辺を見つけることです！今回であったら△OABから△PABに。これだったら辺ABが共通していますね。共通の辺を見つけた後は使われていない点を共通の辺と同じ傾きで動かすことです！点Oを通り直線ABに平行な線を引きます。

その直線と二次関数の交点p1が一つ目の答えです。これはいわゆる等積変形をした状態です。交点を計算すればp1（2,1）

ここで思い出してもらいたいのが答えは複数あることです。p1はpが直線ABの下側にあることを前提に求めましたがそのような指定は問題にはありません。つまりpは上にあることも考えなければなりません。よってCの上側にOCの間隔分上に上がった O'からもABに平行な線を引きます。その直線と二次関数の交点もp2、p3の答えに当てはまります。

等積変形した図形は面積が全て等しいので上の図の三角形は全て面積が同じになります！p2、p3もp1と同様に二次関数との交点を求めればp2=1-√17。p3=1+√17。よって答えは2、1±√17になります。