Ⅲ. 差分法

　　本題に入る前に

　　最近の秋田地学の記事が、CiNiiなどインターネットを通し紹介されています。でも、まだネットで、記事の閲覧はできません。

　私は、秋田地学の記事をネットで閲覧できるようになればいいと思います。

　国立国会図書館デジタルコレクションでは、秋田地学の書誌情報はあるのですが、２００６年以降の情報はありません。

　また、「秋田地学は、著作権の保護期間中か、著作権の確認が済んでいない資料のためインターネット公開はしていません。」とされています。

　インターネットで公開となれば、「投稿の敷居がますます高くなる」とか「査読をしなければいけない」とかさまざまな問題があるようです。

　秋田地学教育学会の役員会等で話し合う必要があると思います。

1）.　山の離散的データ　

　図ア

　図アは、山をx軸で垂直に切った図とします。

　この図からx軸上の各点に対応する点の傾斜を分析したいと思います。

　x軸上の各点は無限にあり、それらに対応する標高も無限にあります。

　  現実的に山の標高は、x軸上で例えば50mごと、5mごとに測るしかありません。これらを離散的データといいます。

　しかし、地形解析において必須である数学の微積分法は、連続な関数を扱うものであり、一工夫が必要です。

　それら要求に、ぴったしの学問があります。それは、差分法や数値微分・数値積分法などです。

2）.　差分法による地形の解析

　コンピュータは、デジタル（離散的な数字・文字など）データを処理する機械です。これを使って解析するには、差分法は必須の学問です。

　　　図イ　

　図イは、図アを等間隔ごと(白丸)に対応する標高（黒丸）を、測った結果をプロットしたグラフです。

この場合、当然ながら標高のグラフは、間隔の点々になります。

a.  傾斜

　この図の地点を基準にすると、この地点の標高はです。

この地点の傾斜を知るためには、近隣の地点の標高を参照するしかありません。

　　基準点の隣の地点において、対応する点とを結んだ直線の傾斜を、ｘの増加方向に前進するという意味で前進差分といいます。

後退差分は、上に準じます。

　また、両隣同士を結んだ破線を、基準点まで上に平行移動した直線の傾斜を中心差分といいます。

　に対応する点の傾斜は、これらの差分のうち、中心差分が直観的・視覚的に最も正確だとわかります。（なお、意図的に極大値付近の点を基準としています。）

　でも、地質学や地形学の偉い先生方には、「一目瞭然」とか「直観的・視覚的に正しい」とかの理屈は、全く通用しません。

　だから、テーラー展開を使い、これらのうち中心差分が一番誤差が少ないことを証明して、

国土地理院の計算法が正しいことを示したのです。　

b.　ラプラシアン

　これは、本文中では、「傾斜の傾斜」とかきましたが、これは「傾斜の変化の割合」

とも言えます。

x軸方向においては、２回偏微分ですので、　標高値をｆとすると表せます。

y軸方向においては、標高値をｆとすると表せます。

なお、はの二乗ではなく、ｆをｘで二回偏微分することを表しています。

全体で

 　　　　　　　　（１）

となります。なお、（１）の数式でΔはデルタではなく、ラプラス演算子と呼ばれています。

Ⅱ.テーラー展開

　次は私感ですが

　この公式の導出や証明は、非常に面倒です。

　前に解説した通り、数学科で正しいと証明された公式は、

とりあえず正しいと受け入れましょう。

　また、この公式は一字一句覚えるものではありません。 

大体の形を覚えておいて、利用法を知っていればいいのです。

　利用するときは、この公式を教科書や参考書で再確認すればいいと思います。

1) テーラー展開（１変数）の公式を書くと

　　　　　第0項　　　　第１項　　　　　　　　第２項　　　　　　　　第３項

 　　　　　　（１）

となります。ほとんどの1変数の関数f(x)は、このように多項式に展開できるのです。

「なんだ、急に難しくなったじゃないか。」と言われるかもしれません。

でも、右辺の第1項からではなく、第0項からと数えたら、見事に覚えやすい公式になります。

第n項は、下のように表せます。

　　　　　　　n=0,1,2,3,・・・

すると第0項は

   です。  0!=1, （x-a）の0乗も1です。また、ｆの0回微分は、なにも微分していないことです。

したがって、この項はｆ（a）となります。他の項も同じです。

  階乗（！）って覚えていますか。びっくりマークではありません。

たとえば、5の階乗は5!＝5×4×3×2×1です。 ここで、０をかけたらまずい！

 ちなみに、1!=1です。

2) 　常用のテーラー展開の公式

(1)の数式で、Δｘ＝ｘ－a　とおくと、x=a+Δx となる。それらを(1)に代入すると

        　  (2)

こちらの公式の方が、物理等で本当によく使われます。

3) ２変数のテーラー展開

関数ｆ(x,y)が、x軸と方向にa、y軸方向にbの微小量だけ動くと

　　　　　　　　　　　　　（３）

になります。　　　　「複雑でさらに難しくなったぞ！」じゃなく、偏微分の数式に惑わされてはいけません。

第1項を第0項から数えると、第n項のｆ（ｘ、ｙ）を除くの部分が

になっただけです。

ここで、秋田地学2021年6月発刊「地形学などで進行中の大革新」のテーラー展開は、

x軸上のお話ですから、（３）において、どの項もｙ＝０でｂ＝０です。また、x₌xiでa₌Δxと置くと

               (4)

となります。ここで　（）iは、ｘ=iに固定するという意味です。

私は数学を趣味というよりボケ防止のため学習しています。

当然その実力はまだ稚拙です。しかし、次の2つのことがわかりました。

１）　自分の経験から、素人がどのような方法で学習すれば理解が速いかを把握したと思います。

２）　数学で難しいのは、公式や定理等の導出や証明であり、公式等を利用して問題を解くことは驚くほど簡単だということです。

　難しいことは数学科にまかせ、私たちは、数学科で正しいことが証明された公式を使えば

よいのです。

これから３回に分けて説明します。

Ⅰ.微分と偏微分

Ⅱ.テーラー（Taylor）展開

【鬼滅の刃】上弦の参・猗窩座 - テイラー展開(九州大)
https://www.youtube.com/watch?v=CfNt8dMMSIU

　あなたに理解できないはずはありません。

Ⅲ.差分法

　Ⅰでは　、「地形学などで進行中の大革新」で使用する微分・偏微分を、中1で習う直線の方程式に基づいて超簡単な解説をします。

　Ⅱで解説するテーラー展開は、高校3年から大学1年のはじめに習うのですが、公式として淡泊に扱って解説します。

　Ⅲ　どうなるかわかりません。

　
Ⅰ　微分と偏微分

１.　微分

　下の数式(1)は何か特別な意味があると思っている人が、多いと思いますが、　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）　

　（１）は、ｄｙわるｄｘという意味です。ｄｙ、ｄｘは、ものすごく小さい量なので、微小量ともいいます。

　また、(1) はｙをｘで微分するともいいます。

これが、いままで訳が分からなかった、微分の正体です。

     図ア    　  図イ

  図アのグラフの方程式はy=２xですが、　２は傾きと呼ばれ、２わる１で計算されます。

　同じ傾き図イでdyわるｄｘは、まちがいなく２です。は、傾きを表していたのです。

　たとえば、図イで原点にごく近い点のｘ座標を0.0000000000000001としてこれをdxとすると、

dyは0.0000000000000002となり、当然ですが、dyわるdxは２となります。

dyわるdxは直線のグラフの傾きを表しています。

　また、図イのグラフの直線が地形とすれば、は傾斜を表しています。

　だから、数式で表せば直線の方程式は、y=axですから、

　aにを代入してとなります。

２.微分の表し方と計算

 1）　y=f(x)であるとき、微分はだけでなく、f´、f´(x)やｙ´などと書きます。

 2)　という公式覚えていますか。たとえば、xの3乗の１回、２回、３回

微分は、

　１回微分　　　　　　　　２回微分　　　　　　３回微分

です。また、　′はダッシュではなくて、プライムと呼ばれています。

（正しくは、回ではなく階が適切とされています。）

３．地形面の傾斜

　当然ですが、地形面は直線（３次元では平面）とは限らず、

複雑な曲線（３次元では曲面）がである場合が多いのです。

問題を簡単にするため図ウの山型の地形があったとします。

　　　　　　　　　　　　　　　図ウ（山型の地形。y=-x^2+10xの放物線)

　この山型の方程式は

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）

で、この式の微分は、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）

です。

多項式の微分は、各項を２の方法で微分するだけです。なお、数値（定数）を微分すると０になります。

図ウで、ｘ＝２とｘ＝５の位置の傾斜を計算してみましょう。これらは、高校2年の復習で分かっている人は、

読み飛ばしてください。

ｘ＝２のときy座標はｆ（２）＝１６であり、これは地形の場合、標高といいます。

ここでは

となり、図ウのx=2では傾き（傾斜）６になります。

ｆ’（２）という表記には慣れていないかもしれません。これは、(4)式のxに２を代入することを意味しています。

ｘ＝５では

傾き（傾斜）が０になり、図では水平になります。

４. 偏微分

　　地形の傾斜を１で説明したので、次はラプラシアンの説明をしたいのですが、そのなかで偏微分が出てくるので、これを先に解説します。

　　これも非常に簡単です。

  図エ

　図エは上面（上底面）が原点側に傾いたケーキの両端を、x軸、y軸で垂直に切った図とします。

（１）　ｘ軸側からの正面図では、直線ABが下の図オのようになるはずです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図オ

　この図は、図アにおけるy軸が、ｚ軸に変わっただけですので、dz/dxがこのグラフ

の傾きだと思いますが、このグラフの直線ABの傾きは、x軸を基準にした傾きでありと書きます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　図カ

　同様に、図エでy軸を基準にしたら　図カのように直線ACの傾きはとなります。これらを偏微分といいます。

　ｘ、ｙ、ｚと３つの座標軸があります。ここではｘとｙが独立変数と呼び、これらが変化すると従属変数であるｚが変化する。このことはｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）とも書きます。

下図キのAbの長さが微小量のdxとすると、bBの長さはいくらでしょうか。

一般に直線の方程式はy=axです。左下図クでは、QWの長さは、x=2で傾きはa=2

だから、y=axに代入してy=2×2で4です。

　　　　　　　　　　　　図キ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図ク

同様に、図キの場合は図クのｙ軸がｚ軸に変わったけで、直線ABの傾きはです。

直線ABの方程式はZ=Xです。

ゆえに、直線bBの長さは、x＝ｄｘであるからです。

また同様にして、図ケの辺cCの長さは、ですね。

        図ケ

　図ケでは、x軸とy軸で囲まれた部分は平面です。したがって、ｄｚと辺dDの長さは同じです。

　また、四角形bdeBとceDCはそれぞれ長方形と平行四辺形ですので、bBとde、cCとeDの長さは同じです。したがって

　　　　　　　　　　　　　　（６）

これをｚの全微分といいますが、全微分といった言葉はどうでもいいのです。「理解した！」という

体験が大切なのです。

こんなものです！簡単だったでしょう！

でも、これで数学を舐めてはいけません。

一つ一つは、このように簡単ですが、その量が多いうえ、積み重なっているのです。